Правила сложения дроби с разными знаменателями

11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Мы умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.

  • Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Пример 1. Сравним дроби

Р е ш е н и е . Приведём дроби к общему знаменателю 15.

Получим

Так как

Пример 2. Найдём значение суммы

Р е ш е н и е .

Пример 3. Найдём значение разности

Р е ш е н и е .

Для сложения и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий. Они иногда помогают упрощать вычисления.

Пример 4. Найдем значение выражения:

Р е ш е н и е . Сгруппируем дроби, имеющие одинаковые знаменатели:

Пример 5. Найдём значение выражения:

Р е ш е н и е . Используя свойство вычитания суммы из числа, получим:

Как сравнить две дроби с разными знаменателями?
Расскажите, как сложить дроби с разными знаменателями.
Расскажите, как выполнить вычитание дробей с разными знаменателями.

304. Сравните дроби:

305. Что меньше:

306. Что больше:

307. Расположите в порядке возрастания дроби:

308. Докажите неравенство:

309. Объясните, не приводя дроби к общему знаменателю, почему Сформулируите правило сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Используя это правило, сравните:

310. Запишите все дроби с числителем 2, большие, чем

311. Сравните промежутки времени двумя способами:

1) выразив их в минутах;

2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю:

312. Запишите все дроби со знаменателем 5, большие, чем и меньшие, чем . Отметьте эти дроби на координатном луче.

313. Рисунки занимают книги, а таблицы книги. Что занимает больше места в книге: рисунки или таблицы?

314. 20 шагов папы составляют 16 м, а 10 моих шагов — 7 м. Чей шаг короче?

315. Через узкую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через широкую — за 4 ч. Какая труба даёт меньше воды: широкая за 3 ч или узкая за 7 ч?

316. Трёхметровое бревно распилили на 7 равных частей, а четырёхметровое — на 10. Части какого бревна длиннее?

317. Миша, Юра и Нина решали в классе одну и ту же задачу. Один из них затратил на решение урока, другой — урока, а третии — урока. Какую часть урока затратил на эту задачу каждый из них, если известно, что Нина решила задачу быстрее Миши, а Юра — быстрее Нины?

318. Начертите координатный луч, приняв отрезок длиной в 18 клеток тетради за единичный. Отметьте на этом луче точку Отложите вправо от точки А отрезок АС, равный единичного отрезка. Найдите координату точки С. Отложите от точки С влево отрезок CD, равный единичного отрезка. Найдите координату точки D. Как можно найти координаты точек С и D, не выполняя построений?

www.xn--24-6kct3an.xn--p1ai

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

  1. найти НОК всех знаменателей;
  2. проставить к каждой дроби дополнительные множители;
  3. умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
  4. полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
  5. произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
  6. Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

    shkolo.ru

    Сложение и вычитание дробей

    Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

    Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

    Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

    Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

    Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

    Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

    Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

    Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

    Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

    Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

    Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

  7. Плюс на минус дает минус;
  8. Минус на минус дает плюс.
  9. Разберем все это на конкретных примерах:

    В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

    Что делать, если знаменатели разные

    Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

    Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

    В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

    Что делать, если у дроби есть целая часть

    Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

    Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

  10. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
  11. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
  12. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

  • Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
  • Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
  • Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
  • Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
  • Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

    www.berdov.com

    Сложение и вычитание алгебраических дробей

    Алгебраические дроби складывают и вычитают по правилам сложения и вычитания обыкновенных дробей.

    Сложение алгебраических дробей

    Складывать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

    Нельзя складывать дроби без преобразований

    Можно складывать дроби

    При сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  • числитель первой дроби складывается с числителем второй дроби;
  • Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей.

    Так как знаменатель у обеих дробей « 2а », значит, дроби можно сложить.

    Сложим числитель первой дроби с числителем второй дроби, а знаменатель оставим прежним. При сложении дробей в полученном числителе приведем подобные.

    Вычитание алгебраических дробей

    Вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями!

    При вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

  • из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби.
  • знаменатель остаётся прежним.
  • Обязательно заключите в скобки весь числитель вычитаемой дроби.

    Иначе вы сделаете ошибку в знаках при раскрытии скобок вычитаемой дроби.

    Рассмотрим пример вычитания алгебраических дробей.

    Так как у обеих алгебраических дробей знаменатель « 2с », значит, эти дроби можно вычитать.

    Вычтем из числителя первой дроби « (a + d) » числитель второй дроби « (a − b) ». Не забудем заключить числитель вычитаемой дроби в скобки. При раскрытии скобок используем правило раскрытия скобок.

    Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

    Рассмотрим другой пример. Требуется сложить алгебраические дроби.

    В таком виде сложить дроби нельзя, так как у них разные знаменатели.

    Прежде чем складывать алгебраические дроби их необходимо привести к общему знаменателю.

    Правила приведения алгебраических дробей к общему знаменателю очень похожи на правила приведения к общему знаменателю обыкновенных дробей. .

    В итоге мы должны получить многочлен, который без остатка разделится на каждый прежний знаменатель дробей.

    Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю необходимо сделать следующее.

    1. Работаем с числовыми коэффициентами. Определяем НОК (наименьшее общее кратное) для всех числовых коэффициентов.
    2. Работаем с многочленами. Определяем все различные многочлены в наибольших степенях.
    3. Произведение числового коэффициента и всех различных многочленов в наибольших степенях и будет общим знаменателем.
    4. Определяем, на что нужно умножить каждую алгебраическую дробь, чтобы получить общий знаменатель.
    5. Вернемся к нашему примеру.

      Рассмотрим знаменатели « 15a » и « 3 » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

    6. Работаем с числовыми коэффициентами. Находим НОК (наименьшее общее кратное — это число, которое без остатка делится на каждый числовый коэффициент). Для « 15 » и « 3 » — это « 15 ».
    7. Работаем с многочленами. Необходимо перечислить все многочлены в наибольших степенях. В знаменателях « 15a » и « 5 » есть только
      один одночлен — « а ».
    8. Перемножим НОК из п.1 « 15 » и одночлен « а » из п.2. У нас получится « 15a ». Это и будет общим знаменателем.
    9. Для каждой дроби зададим себе вопрос: «На что нужно умножить знаменатель этой дроби, чтобы получить « 15a »?».
    10. Рассмотрим первую дробь. В этой дроби и так знаменатель « 15a », значит, ее не требуется ни на что умножать.

      Рассмотрим вторую дробь. Зададим вопрос: «На что нужно умножить « 3 », чтобы получить « 15a »?» Ответ — на « 5a ».

      При приведении к общему знаменателю дроби умножаем на « 5a » и числитель, и знаменатель .

      Сокращенную запись приведения алгебраической дроби к общему знаменателю можно записать через «домики» .

      Для этого держим в уме общий знаменатель. Над каждой дробью сверху «в домике» пишем, на что умножаем каждую из дробей.

      Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, дроби можно сложить.

      Рассмотрим пример вычитания дробей с разными знаменателями.

      В таком виде вычитать дроби нельзя, так как у них разные знаменатели. Чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю.

      Рассмотрим знаменатели « (x − y) » и « (x + y) » обеих дробей и найдем для них общий знаменатель.

    11. Работаем с числовыми коэффициентами. Числовых коэффициентов в знаменателях нет, поэтому переходим к многочленам.
    12. Работаем с многочленами. Находим все различные многочлены из знаменателей в наибольших степенях и перемножаем их.

    Многочлены необходимо рассматривать целиком! Для удобства заключайте целый многочлен в скобки.

    У нас есть два различных многочлена в знаменателях « (x − y) » и « (x + y) ». Их произведение будет общим знаменателем, т.е. « (x − y)(x + y) » — общий знаменатель.

    Теперь дроби можно вычитать, т.к. у них одинаковый знаменатель.

    Сложение и вычитание алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

    В некоторых примерах, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно использовать формулы сокращенного умножения.

    Рассмотрим пример сложения алгебраических дробей, где нам потребуется использовать формулу разности квадратов.

    В первой алгебраической дроби знаменатель « (p 2 − 36) ». Очевидно, что к нему можно применить формулу разности квадратов.

    После разложения многочлена « (p 2 − 36) » на произведение многочленов
    « (p + 6)(p − 6) » видно, что в дробях повторяется многочлен « (p + 6) ». Значит, общим знаменателем дробей будет произведение многочленов « (p + 6)(p − 6) ».

    Прежде чем приводить многочлены к общему знаменателю, попытайтесь использовать формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки.

    Примеры сложения и вычитания дробей с разными знаменателями с использованием формул сокращенного умножения.

    Сложение и вычитание алгебраических дробей с вынесением общего множителя за скобки

    На первый взгляд одинаковых многочленов в обеих дробях нет.

    Вынесем общий множитель « а » за скобки в обоих знаменателях.

    После вынесения общего множителя « а » за скобки, в обоих знаменателях появился одинаковый одночлен « а ». Значит, общий знаменатель для обеих дробей будет выглядеть так: « а(а + 1)(b + 1) ».

    Сложение алгебраической дроби с одночленом или числом

    Рассмотрим пример. Требуется сложить алгебраическую дробь с одночленом (буквой).

    Чтобы сложить одночлен или число с алгебраической дробью, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем « 1 ».

    Представим одночлен « а » как алгебраическую дробь со знаменателем « 1 ».

    Подобное действие можно сделать, так как при делении на единицу получается тот же самый одночлен.

    Теперь приведем алгебраические дроби к общему знаменателю « (а − 1) » и решим пример.

    math-prosto.ru

    правила при вычитание дробей с разными знаменателями 04

    Файл: правила при вычитание дробей с разными знаменателями 04

    Категория: Другое

    Загрузили: 1114 раз

    Сказали спасибо: 2612 юзера

    Срок удаления через: 1 дней

    ОС: Windows 2000/2003/XP/Vista/2008/Win 7/Win 8

    Прикольное видео

    Представленная статья Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями способствует. Дроби с разными знаменателями — это, например, две банки и пять стаканов Сейчас — сложение и вычитание Мы будем опираться на 2 правила — правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и на основное свойство дроби. Цели: повторить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, правило нахождения дополнительного множителя, правило сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем; вывести правила сложения и вычитания дробей с разными. ••• Скажите правила на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Гламур-Лямур Ученик (45), закрыт надо найти общий знаменатель, умножить числитель на него и потом сократить дробь. Для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей с различными знаменателями, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель.5 Сформулируйте правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями Повторим правила Устная работа Найдите значения букв , при которых дробь равна нулю. Рабочая программа учебного предмета математика для 6 класса средней общеобразовательной. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей Сложение десятичных дробей. Математика Основные формулы и правила Примеры использования формул математики. Действия с дробями Что можно делать с дробями? Сложение и вычитание дробей Общий.Приведение дробей к общему знаменателю Автор: Команда проекта videouroki.net Дата добавления: 04 Разобрано, как проводится вычитание смешанных чисел, приведены правила, рассмотрены примеры вычитания смешанных чисел Выполняем вычитание натуральных чисел 3 и 2, имеем 3−2=1, и проводим вычитание дробей с разными знаменателями 5/6 и 4/9, получаем. Правила Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменател�. Табличное сложение и вычитание натуральных чисел Таблица сложения и вычитания. Правила сложения и вычитания числовых дробей с разными знаменателями Привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) а) Найти НОК знаменателей (это и есть НОЗ) б) Найти для каждой дроби дополнительный множитель.В случае, когда обе дроби имеют разные знаменатели, пользуются правилами, описанными ниже Сложение и вычитание простых дробей с разными знаменателями (сложение и вычитание обыкновенных дробей). Общий знаменатель Вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Нахождение дроби от числа Нахождение целого по известной дроби Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами. Вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения Продолжаем знакомиться с. № урока Содержание учебного материала Примерные сроки изучения тем и проведения. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо просто сложить их числители А если.

    bestrussfiles.magix.net

    Смотрите еще:

    • Заявление в школу в группу продленного дня xalyavabudet Заявление В Группу Продленного Дня В Школе В 2013-2014 учебном году в ГБОУ СОШ № 1270 работают 6 групп продленного дня (150 учащихся начальной школы). Для зачисления учащегося в ГПД, необходимо заполнить заявление и предоставить его в школу до 1 сентября (до начала […]
    • Экзамен по русскому на гражданство 2018 Приказом ректора МГУ имени М. В. Ломоносова В. А. Садовничего снижена стоимость экзаменов для граждан из ЛНР и ДНР. Запись на комплексный экзамен / тестирование на гражданство производится не позднее, чем за 1 рабочий день до экзамена. Головной центр тестирования иностранных граждан МГУ […]
    • Минимальная пенсия в башкирии в 2018 Пенсионное обеспечение для жителей Уфы и Республики Башкортостан в 2018 году В Республике Башкортостан проживает 1 147 579 пенсионеров. Все они получают доход из бюджета Пенсионного фонда (ПФР). Правительство РФ регулирует доходы социально незащищенных групп населения с тем, чтобы не […]
    • Найти пределы пользуясь правилом лопиталя Правило Лопиталя Введите функцию и точку для предела, которому надо применить правило Лопиталя Вычислим предел функции с помощью правила Лопиталя. Вы введёте функцию, для которой требуется вычислить предел и точку в которой предел должен сходиться. (x^2-1)/(2*x^2-x-1) 1 […]
    • Правила и принципы раздельного питания Основные правила раздельного питания: меню для похудения, допустимые сочетания продуктов Об идее совместимости продуктов слышали многие, но мало кто прибегал к ней на практике. Это кажется трудным, требующим силы воли, которой катастрофически не хватает. На самом деле, такая система не […]
    • Пособие при рождении третьего ребенка в спб Детские пособия в Санкт-Петербурге в 2018 году Санкт-Петербург является обособленным субъектом федерации. На жителей мегаполиса не распространяются областные социальные программы. Городские власти создают свои проекты с целью охвата все нуждающиеся в поддержке семейства. Всероссийские […]