Правила деление в столбик десятичных дробей

Округление десятичных дробей

На предыдущей странице мы обсудили, как округлить натуральное число. Теперь рассмотрим, как округлить десятичную дробь.

Десятичную дробь можно округлить как до целых, так и до разрядов дробной части: десятых, сотых, тысячных и т.д.

Важно помнить и не путать названия разрядов до и после запятой в десятичной дроби.

Правила округления десятичной дроби

При округлении дробной части десятичной дроби пользуемся правилами округления.

  • Подчёркиваем цифру округляемого разряда.
  • Вертикальной чертой отделяем все цифры, стоящие справа от округляемого разряда.
  • Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4 , то подчёркнутую цифру оставляем без изменений, а все цифры после вертикальной черты отбрасываем.
  • Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9 , то к подчёркнутой цифре добавляем 1 , а все цифры после вертикальной черты отбрасываем.
  • Округлим 41,958 до сотых.

    Округлим 0,748 до десятых.

    Округлим десятичную дробь 14,89 до разряда единиц в целой части.

    Если при округлении десятичной дроби последняя из оставшихся цифрой в дробной части оказывается 0 , то отбрасывать этот ноль нельзя.

    Так как в таком случае данный ноль в дробной части показывает, до какого разряда округлено число.

    Пример. Округление 5,038 до десятых.

    Еще один пример:

    Обратите внимание, что в примере, в разряде сотых стоит цифра 9 , которая при добавлении 1 , превращается в 10 . Поэтому вместо 9 записываем ноль, а к разряду десятых (у нас это 8 ) прибавляем 1 .

    Если десятичную дробь нужно округлить до разряда выше единиц (десятков, сотен и т.д.), то дробная часть отбрасывается, а целая часть округляется по правилам округления натуральных чисел.

    math-prosto.ru

    Как разделить дробь на целое число?

    Дробь – это одна или более долей целого, за которое обычно принимается единица (1). Как и с натуральными числами, с дробями можно выполнять все основные арифметические действия (сложение, вычитание, деление, умножения), для этого нужно знать особенности работы с дробями и различать их виды. Существует несколько видов дробей: десятичные и обыкновенные, или простые. Своя специфика есть у каждого вида дробей, но, обстоятельно разобравшись один раз, как с ними обращаться, вы сможете решать любые примеры с дробями, поскольку будете знать основные принципы выполнения арифметических вычислений с дробями. Рассмотрим на примерах как разделить дробь на целое число, используя разные виды дробей.

    Как разделить простую дробь на натуральное число?
    Обыкновенными или простыми называют дроби, записывающиеся в виде такого отношения чисел, при котором вверху дроби указывается делимое (числитель), а внизу – делитель (знаменатель) дроби. Как разделить такую дробь на целое число? Рассмотрим на примере! Допустим, нам нужно разделить 8/12 на 2.

    Для этого мы должны выполнить ряд действий:

      Упростите дробь. Для того чтобы упростить дробь, нужно разделить на одно и то же числовое выражение числитель этой дроби и ее знаменатель, таким образом в ответе получится тождественная ей дробь. Например, дробь 8/12 можно сократить, разделив ее числитель и знаменатель на число 2, получив в итоге 4/6, при этом значение дроби абсолютно такое же.

    Превратите натуральное число в неправильную дробь, поместив в знаменатель единицу. Например, если мы хотим разделить 4/6 на 2, то 2 мы представляем в виде такой записи:

    Поменяйте у полученной неправильной дроби числитель и знаменатель местами. Превратите 2/1 в 1/2 , и у вас получится обратная дробь.

    Перемножьте числители (4*1) и знаменатели (6*2) обеих дробей и запишите результат. Упростите полученную дробь 4/12, поделив ее числитель и знаменатель на общий делитель 2; окончательный результат (2/6) запишите в качестве ответа.

    Таким образом, если перед нами стоит задача разделить дробь на целое число, схема решения будет выглядеть примерно так:

    Подобным образом можно разделить любую обыкновенную (простую) дробь на целое число.

    Как разделить десятичную дробь на целое число?
    Десятичная дробь — это такая дробь, которая получается вследствие деления единицы на десять, тысячу и так далее частей. Арифметические действия с десятичными дробями выполняются довольно просто.

    Рассмотрим на примере как разделить дробь на целое число. Допустим, нам нужно поделить десятичную дробь 0,925 на натуральное число 5.

      Запишите оба числа для деления в столбик. Выполните стандартное деление в столбик.

    Подставьте полученный ответ в пример.

    kakimenno.ru

    Десятичные дроби, определения, запись, примеры, действия с десятичными дробями.

    Эта статья про десятичные дроби. Здесь мы разберемся с десятичной записью дробных чисел, введем понятие десятичной дроби и приведем примеры десятичных дробей. Дальше поговорим о разрядах десятичных дробей, дадим названия разрядов. После этого остановимся на бесконечных десятичных дробях, скажем о периодических и непериодических дробях. Дальше перечислим основные действия с десятичными дробями. В заключение установим положение десятичных дробей на координатном луче.

    Навигация по странице.

    Десятичная запись дробного числа

    Дробные числа, так же как и натуральные числа, можно представлять в виде десятичной записи дробного числа.

    Внешний вид дробного числа в десятичной записи представляет собой некоторый набор из двух или большего количества цифр от 0 до 9 , записанных в строку, и между двумя из цифр находится запятая, которую часто называют десятичной запятой. Крайняя цифра слева в десятичной записи числа отлична от цифры 0 , исключение составляют лишь те случаи, когда десятичная запятая стоит сразу после первой цифры 0 .

    Для иллюстрации приведем несколько примеров дробных чисел в виде десятичной записи: 34,21 , 0,35035044 , 0,0001 , 11 231 552,9 . Следует отметить, что часто вместо десятичной запятой ставят десятичную точку, в этом случае только что записанные числа будут выглядеть так: 34.21 , 0.35035044 , 0.0001 , 11 231 552.9 .

    Десятичные дроби, определение, примеры десятичных дробей

    Отталкиваясь от десятичной записи чисел, можно дать определение десятичных дробей.

    Десятичные дроби – это дробные числа, представленные в десятичной записи.

    Озвученное определение позволяет привести примеры десятичных дробей: 152,21 , 3,00762 , 0,15 , 0,00000003 , 598 567 321,3500 .

    Возникает логичный вопрос: «Для чего нужны десятичные дроби»?

    Например, десятичные дроби дают возможность более компактно записывать правильные обыкновенные дроби, знаменателями которых являются числа 10, 100, 1 000, … , и смешанные числа, знаменателями дробной части которых является числа 10, 100, 1 000 , и т.д. К примеру, обыкновенной дроби 8/10 отвечает десятичная дробь 0,8 , десятичной дроби 23/10 000 соответствует десятичная дробь 0,0023 , смешанному числу соответствует десятичная дробь 512,03 .

    Отсюда вытекает следующий вопрос: «Как дробные числа со знаменателями 10, 100, … записываются в виде десятичных дробей»?

    Чтение десятичных дробей

    Скажем пару слов о правилах чтения десятичных дробей.

    Десятичные дроби, которым соответствуют правильные обыкновенные дроби, читаются также как и эти обыкновенные дроби, только еще предварительно добавляется «ноль целых». Например, десятичной дроби 0,12 отвечает обыкновенная дробь 12/100 (читается «двенадцать сотых»), поэтому, 0,12 читается как «нуль целых двенадцать сотых».

    Десятичные дроби, которым соответствуют смешанные числа, читаются абсолютно также как эти смешанные числа. Например, десятичной дроби 56,002 соответствует смешанное число , поэтому, десятичная дробь 56,002 читается как «пятьдесят шесть целых две тысячных».

    Разряды в десятичных дробях

    В записи десятичных дробей, также как и в записи натуральных чисел, значение каждой цифры зависит от ее позиции. Действительно, цифра 3 в десятичной дроби 0,3 означает три десятых, в десятичной дроби 0,0003 – три десяти тысячных, а в десятичной дроби 30 000,152 – три десятка тысяч. Таким образом, мы можем говорить о разрядах в десятичных дробях, так же как и о разрядах в натуральных числах.

    Названия разрядов в десятичной дроби до десятичной запятой полностью совпадают с названиями разрядов в натуральных числах. А названия разрядов в десятичной дроби после запятой видны из следующей таблицы.

    Например, в десятичной дроби 37,051 цифра 3 находится в разряде десятков, 7 – в разряде единиц, 0 стоит в разряде десятых, 5 – в разряде сотых, 1 – в разряде тысячных.

    Разряды в десятичной дроби также различаются по старшинству. Если в записи десятичной дроби двигаться от цифры к цифре слева на право, то мы будем перемещаться от старших к младшим разрядам. Например, разряд сотен старше разряда десятых, а разряд миллионных младше разряда сотых. В данной конечной десятичной дроби можно говорить о старшем и младшем разряде. К примеру, в десятичной дроби 604,9387 старшим (высшим) разрядом является разряд сотен, а младшим (низшим) — разряд десятитысячных.

    Для десятичных дробей имеет место разложение по разрядам. Оно аналогично разложению по разрядам натуральных чисел. Например, разложение по разрядам десятичной дроби 45,6072 таково: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . А свойства сложения от разложения десятичной дроби по разрядам позволяют перейти к другим представлениям этой десятичной дроби, например, 45,6072=45+0,6072 , или 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , или 45,6072=45,0072+0,6 .

    Конечные десятичные дроби

    До этого момента мы говорили лишь о десятичных дробях, в записи которых после десятичной запятой находится конечное число цифр. Такие дроби называют конечными десятичными дробями.

    Конечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записях которых содержится конечное число знаков (цифр).

    Приведем несколько примеров конечных десятичных дробей: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

    Любая конечная десятичная дробь может быть переведена в обыкновенную дробь или смешанное число (смотрите перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби). Например, конечной десятичной дроби 5,63 соответствует дробное число , а конечной десятичной дроби 0,2 отвечает правильная обыкновенная дробь 2/10 (или любая равная ей дробь, например, 1/5 или 10/50 , смотрите равные и неравные обыкновенные дроби).

    Однако не всякая обыкновенная дробь может быть представлена в виде конечной десятичной дроби. К примеру, дробь 5/13 не может быть заменена равной ей дробью с одним из знаменателей 10, 100, … , следовательно, не может быть переведена в конечную десятичную дробь. Подробнее об этом мы поговорим в разделе теории перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби.

    Бесконечные десятичные дроби: периодические дроби и непериодические дроби

    В записи десятичной дроби после запятой можно допустить возможность наличия бесконечного количества цифр. В этом случае мы придем к рассмотрению так называемых бесконечных десятичных дробей.

    Бесконечные десятичные дроби – это десятичные дроби, в записи которых находится бесконечное множество цифр.

    Понятно, что бесконечные десятичные дроби мы не можем записать в полном виде, поэтому в их записи ограничиваются лишь некоторым конечным числом цифр после запятой и ставят многоточие, указывающее на бесконечно продолжающуюся последовательность цифр. Приведем несколько примеров бесконечных десятичных дробей: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .

    Если внимательно посмотреть на две последние бесконечные десятичные дроби, то в дроби 2,111111111… хорошо видна бесконечно повторяющаяся цифра 1 , а в дроби 69,74152152152… , начиная с третьего знака после запятой, отчетливо видна повторяющаяся группа цифр 1 , 5 и 2 . Такие бесконечные десятичные дроби называют периодическими.

    Периодические десятичные дроби (или просто периодические дроби) – это бесконечные десятичные дроби, в записи которых, начиная с некоторого знака после запятой, бесконечно повторяется какая-нибудь цифра или группа цифр, которую называют периодом дроби.

    Например, периодом периодической дроби 2,111111111… является цифра 1 , а периодом дроби 69,74152152152… является группа цифр вида 152 .

    Для бесконечных периодических десятичных дробей принята особая форма записи. Для краткости условились период записывать один раз, заключая его в круглые скобки. Например, периодическая дробь 2,111111111… записывается как 2,(1) , а периодическая дробь 69,74152152152… записывается как 69,74(152) .

    Стоит отметить, что для одной и той же периодической десятичной дроби можно указать различные периоды. Например, периодическую десятичную дробь 0,73333… можно рассматривать как дробь 0,7(3) с периодом 3 , а также как дробь 0,7(33) с периодом 33 , и так далее 0,7(333), 0,7(3333), … Также на периодическую дробь 0,73333… можно посмотреть и так: 0,733(3) , или так 0,73(333) и т.п. Здесь, чтобы избежать многозначности и разночтений, условимся рассматривать в качестве периода десятичной дроби самую короткую из всех возможных последовательностей повторяющихся цифр, и начинающуюся с самой близкой позиции к десятичной запятой. То есть, периодом десятичной дроби 0,73333… будем считать последовательность из одной цифры 3 , и периодичность начинается со второй позиции после запятой, то есть, 0,73333…=0,7(3) . Еще пример: периодическая дробь 4,7412121212… имеет период 12 , периодичность начинается с третьей цифры после запятой, то есть, 4,7412121212…=4,74(12) .

    Бесконечные десятичные периодические дроби получаются при переводе в десятичные дроби обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, отличные от 2 и 5 .

    Заметим, что любую конечную десятичную дробь, как и любое целое число, можно записать в виде периодической дроби – для этого нужно лишь справа добавить бесконечное количество цифр 0 . Например, конечную десятичную дробь 10,35 можно записать в виде периодической дроби как 10,35(0) , а целое число 53 в виде бесконечной периодической десятичной дроби имеет вид 53,(0) . Мы можем так поступать, так как дописывание в дробной части десятичной дроби справа любого количества нулей дает равную ей дробь (смотрите равные и неравные десятичные дроби).

    Здесь же стоит сказать о периодических дробях с периодом 9 . Приведем примеры таких дробей: 6,43(9) , 27,(9) . Эти дроби являются другой записью периодических дробей с периодом 0 , и их принято заменять периодическими дробями с периодом 0 . Для этого период 9 заменяют периодом 0 , а значение следующего по старшинству разряда увеличивают на единицу. Например, дробь с периодом 9 вида 7,24(9) заменяется периодической дробью с периодом 0 вида 7,25(0) или равной ей конечной десятичной дробью 7,25 . Еще пример: 4,(9)=5,(0)=5 . Равенство дроби с периодом 9 и соответствующей ей дроби с периодом 0 легко устанавливается, после замены этих десятичных дробей равными им обыкновенными дробями.

    Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Иными словами, любую периодическую дробь можно перевести в обыкновенную дробь, а любую обыкновенную дробь можно представить в виде периодической дроби (смотрите перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно).

    Наконец, повнимательнее рассмотрим бесконечные десятичные дроби, в записи которых отсутствует бесконечно повторяющаяся последовательность цифр. Их называют непериодическими.

    Непериодические десятичные дроби (или просто непериодические дроби) – это бесконечные десятичные дроби, не имеющие периода.

    Иногда непериодические дроби имеют вид, схожий с видом периодических дробей, например, 8,02002000200002… — непериодическая дробь. В этих случаях следует быть особо внимательными, чтобы заметить разницу.

    Отметим, что непериодические дроби не переводятся в обыкновенные дроби, бесконечные непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа.

    Одним из действий с десятичными дробями является сравнение, также определены четыре основных арифметических действия с десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. Рассмотрим отдельно каждое из действий с десятичными дробями.

    Сравнение десятичных дробей по сути базируется на сравнении обыкновенных дробей, отвечающих сравниваемым десятичным дробям. Однако перевод десятичных дробей в обыкновенные является достаточно трудоемким действием, да и бесконечные непериодические дроби не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, поэтому удобно использовать поразрядное сравнение десятичных дробей. Поразрядное сравнение десятичных дробей аналогично сравнению натуральных чисел. Для получения более детальной информации рекомендуем изучить материал статьи сравнение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

    Рассмотрим следующее действие с десятичными дробями – сложение десятичных дробей. Наиболее удобно сложение конечных десятичных дробей по правилу, аналогичному сложению столбиком натуральных чисел. Для сложения периодических десятичных дробей приходится их заменять обыкновенными дробями, после чего выполнять сложение обыкновенных дробей. Что касается сложения бесконечных непериодических десятичных дробей, то складываемые дроби обычно предварительно округляют (смотрите округление чисел), придерживаясь требуемой точности, после чего проводят сложение полученных после округления конечных десятичных дробей. Аналогично выполняют и другие действия с бесконечными непериодическими дробями. Далее смотрите статью сложение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

    Вычитание десятичных дробей представляет собой действие, обратное сложению. То есть, вычитание десятичных дробей – это нахождение числа, которое в сумме с вычитаемой десятичной дробью даст уменьшаемую десятичную дробь. Для дальнейшего изучения этого действия с десятичными дробями подходит статья вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решения.

    Переходим к следующему действию — умножению десятичных дробей. Умножение конечных десятичных дробей проводится аналогично вычитание десятичных дробей, правила, примеры, решенияумножению столбиком натуральных чисел. В случае периодических дробей умножение можно свести к умножению обыкновенных дробей. В свою очередь умножение бесконечных непериодических десятичных дробей после их округления сводится к умножению конечных десятичных дробей. Рекомендуем к дальнейшему изучению материал статьи умножение десятичных дробей, правила, примеры, решения.

    Деление десятичных дробей представляет собой действие, обратное умножению. На практике, деление десятичных дробей сводится к делению десятичной дроби на натуральное число в столбик, которое аналогично делению в столбик натуральных чисел. Дальнейшая информация по теме собрана в статье деление десятичных дробей, правила, примеры, решения.

    Десятичные дроби на координатном луче

    Между точками координатного луча и десятичными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

    Разберемся, как строятся точки на координатном луче, соответствующие данной десятичной дроби.

    Конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби мы можем заменить равными им обыкновенными дробями, после чего построить соответствующие обыкновенные дроби на координатном луче. Например, десятичной дроби 1,4 отвечает обыкновенная дробь 14/10 , поэтому точка с координатой 1,4 удалена от начала отсчета в положительном направлении на 14 отрезков, равных десятой доле единичного отрезка.

    Десятичные дроби можно отмечать на координатном луче, отталкиваясь от разложения данной десятичной дроби по разрядам. Например, пусть нам нужно построить точку с координатой 16,3007 , так как 16,3007=16+0,3+0,0007 , то в данную точку можно попасть, последовательно откладывая от начала координат 16 единичных отрезков, 3 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного, и 7 отрезков, длина которого равна десятитысячной доле единичного отрезка.

    Такой способ построения десятичных чисел на координатном луче позволяет сколь угодно близко приблизиться к точке, отвечающей бесконечной десятичной дроби.

    Иногда возможно точно построить точку, соответствующую бесконечной десятичной дроби. Например, , тогда этой бесконечной десятичной дроби 1,41421… соответствует точка координатного луча, удаленная от начала координат на длину диагонали квадрата со стороной 1 единичный отрезок.

    Обратный процесс получения десятичной дроби, соответствующей данной точке на координатном луче, представляет собой так называемое десятичное измерение отрезка. Разберемся, как оно проводится.

    Пусть наша задача заключается в том, чтобы попасть из начала отсчета в данную точку координатной прямой (или бесконечно приблизиться к ней, если попасть в нее не получается). При десятичном измерении отрезка мы можем последовательно откладывать от начала отсчета любое количество единичных отрезков, далее отрезков, длина которых равна десятой доле единичного, затем отрезков, длина которых равна сотой доле единичного, и т.д. Записывая количество отложенных отрезков каждой длины, мы получим десятичную дробь, соответствующую данной точке на координатном луче.

    К примеру, чтобы попасть в точку М на приведенном выше рисунке, нужно отложить 1 единичный отрезок и 4 отрезка, длина которых равна десятой доле единичного. Таким образом, точке М соответствует десятичная дробь 1,4 .

    Понятно, что точкам координатного луча, в которые невозможно попасть в процессе десятичного измерения, соответствуют бесконечные десятичные дроби.

    www.cleverstudents.ru

    Действия с десятичными дробями

    Десятичные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, десятичные дроби можно сравнивать между собой.

    В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

    Сложение десятичных дробей

    Как мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по-отдельности.

    Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.

    Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой».

    Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:

    Начинаем складывать дробные части: 2 + 3 = 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5

    На самом деле не всё так просто, как покажется на первый взгляд. Здесь тоже есть свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.

    Разряды в десятичных дробях

    У десятичных дробей, как и у обычных чисел есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разрядность начинается после запятой.

    Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.

    Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.

    Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345

    Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых

    Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых

    Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных

    Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .

    Смотрим дальше. В разряде сотых располагается четвёрка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится четыре сотых .

    Смотрим дальше. В разряде тысячных находится пятёрка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится пять тысячных .

    Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345

    Видно, что сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.

    При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

    Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой». Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.

    Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4

    Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»

    В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

    Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:

    Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9

    Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22

    В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:

    Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:

    Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73

    Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти переполнение разряда. В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.

    Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27

    Записываем в столбик данное выражение:

    Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:

    Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:

    Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92

    Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8

    Записываем в столбик данное выражение

    Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:

    Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3

    При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.

    Пример 5. Найти значение выражения: 12,725 + 1,7

    Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:

    Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:

    Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:

    Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:

    Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:

    Отделяем запятой целую часть от дробной:

    Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+ 1,700 равно 14,425

    12,725+ 1,700 = 14,425

    Вычитание десятичных дробей

    При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».

    Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

    Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:

    Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:

    Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3

    Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1

    В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.

    Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:

    Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253

    Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.

    Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39

    Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:

    Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:

    Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07

    Умножение десятичных дробей

    Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

    Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

    Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5

    Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

    Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.

    Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

    Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7

    Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

    Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

    Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

    12,85 × 2,7 = 34,695

    Умножение десятичной дроби на обычное число

    Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.

    Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

    Например, умножим 2,54 на 2

    Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:

    Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.

    Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08

    Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

    Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

    Например, умножим 2,88 на 10

    Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

    Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

    Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

    Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8

    Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

    Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

    Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

    Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

    2,88 × 1000 = 2880

    Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001

    Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

    Например, умножим 3,25 на 0,1

    Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:

    Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.

    Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:

    Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325

    Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.

    Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325

    Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325

    3,25 × 0,01 = 0,0325

    Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325

    3,25 × 0,001 = 0,00325

    Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.

    При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.

    А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.

    Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.

    Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

    В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.

    Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче, как разделить одно яблоко на двоих:

    Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.

    Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.

    При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.

    Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:

    Единица на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице», то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:

    Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:

    Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:

    Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:

    Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10

    Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5

    Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:

    Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см

    Пример 2. Найти значение выражения 4 : 5

    Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:

    Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:

    Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.

    Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:

    Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4 : 5 равно 0,8

    Пример 3. Найти значение выражения 5 : 125

    Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Значит, записываем 0 в частном и ставим запятую:

    Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0

    Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:

    Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0

    Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50

    Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:

    Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:

    Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500

    Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5 : 125 равно 0,04

    Деление чисел без остатка

    В уроке деление мы научились делить числа с остатком. Например, чтобы разделить 9 на 5, мы поступали следующим образом:

    и далее говорили, что девять разделить на пять будет один и четыре в остатке.

    Теперь мы получили необходимые знания, чтобы разделить 9 на 5 без остатка. Наша задача раздробить остаток 4 на 5 частей. Другими словами, разделить меньшее число на большее.

    Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:

    Допишем ноль к остатку 4:

    Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:

    Что делать дальше мы уже знаем. Вытаскиваем остаток (если есть). Умножаем восьмёрку на делитель 5, и записываем полученный результат под 40:

    40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:

    Пример 2. Разделить 84 на 5 без остатка

    Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:

    Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0

    Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:

    и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:

    Деление десятичной дроби на обычное число

    Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

    • разделить целую часть десятичной дроби на это число;
    • после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

    Например, разделим 4,8 на 2

    Запишем этот пример уголком:

    Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

    Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

    4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

    8 : 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

    Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8 : 2 равно 2,4

    Пример 2. Найти значение выражения 8,43 : 3

    Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

    Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

    Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 4

    Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

    24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

    Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43 : 3 равно 2,81

    Деление десятичной дроби на десятичную дробь

    Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.

    Например, разделим 5,95 на 1,7

    Запишем уголком данное выражение

    Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:

    После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:

    Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?

    Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9 : 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.

    Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:

    (9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18 : 6 = 3

    Как видно из примера, частное не поменялось.

    Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.

    На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:

    Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.

    Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

    Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и деление десятичной дроби на обычное число. Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:

    Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.

    Решим предыдущий пример этим способом. 2,1 : 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21

    Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:

    Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:

    2,1 : 1000 = 0,0021

    Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001

    Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и деление десятичной дроби на десятичную дробь. В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.

    Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.

    После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:

    Значит значение выражения 6,3 : 0,1 равно 63

    Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.

    Решим предыдущий пример этим способом. 6,3 : 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63

    Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630

    Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    spacemath.xyz

    Смотрите еще:

    • Шуточные правила на работе Шуточные правила на работе Общие требования Инстpyкция - пpямоyгольно отфоpмиpованная и отбеленная целлюлозная масса с нанесенными на ней шрифтовыми символами, совокyпность котоpых описывает последовательность операций по реализации прямоходящими pазyмными приматами пpодyктов […]
    • Методическое пособие маркетинг «Управление и Оптимизация Производственного Предприятия» АННОТАЦИЯ В пособии рассмотрены разносторонние аспекты маркетинга: эволюция и концепции маркетинга, управление маркетингом на предприятии, основные маркетинговые стратегии организации, сегментирование рынка и позиционирование […]
    • Пешеход на проезжей части дороги правила Глава 1. Общие положения Формы и методы контроля за выполнением участниками дорожного движения требований настоящих Правил определяются Министерством внутренних дел. 5. Нарушение настоящих Правил влечет ответственность, установленную законодательными актами. ПДД он-лайн ПДР на […]
    • Грин р 48 законов власти 48 законов власти и обольщения Искушенный знаток человеческой психологии, Роберт Грин поможет вам овладеть искусством обольщать и властвовать, привлекать к себе любовь и умело управлять мыслями и настроением других людей. Следуя советам, собранным в этой книге, вы сможете превратить […]
    • Нотариус железнодорожного района пензы Справочная информация: "РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЛИЦ Г. ПЕНЗЫ МЕЖДУ НОТАРИУСАМИ ПО ВЕДЕНИЮ НАСЛЕДСТВЕННЫХ ДЕЛ" (по состоянию на 15.06.2009) (Материал подготовлен специалистами КонсультантПлюс по данным Нотариальной палаты Пензенской обл.) Справочная информация: "РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЛИЦ Г. ПЕНЗЫ МЕЖДУ […]
    • Решение задач по законам хаммурапи Решение задач по ИГПЗС за 1 семестр из Методических указаний (ИвГУ) Скачивание файла Введите число с картинки: Поделись с друзьями! Представленное решение имеет вид ссылок на нормативные акты. Решение задач по темам:1. Законник Хаммурапи;2. Законы Ману;3. Древняя Греция;4. Древний […]