Общие правила дифференцирования

Правила дифференцирования

Производная алгебраической суммы функций

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)’ = u’ — v’ + w’

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)’ = cv’ (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Очень часто в задачах по математике на производные даются сложные функции, например, y = sin(cos5x). Производная такой функции равна -5sin5x*sin(cos5x)

Смотрите пример вычисления сложной функции на следующем видео

Производная обратной функции

Еели у = f(x) и х = ф (у) — взаимно обратные дифференцируемые функции, то

univer-nn.ru

Общие правила дифференцирования

31.Теорема о производной обратной функции.

Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx.

32.Теорема о производной сложной функции.

.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.

33. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность

Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует)

Написать обозначение производной.

Геометрический смысл производной.

Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0.

Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.

Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)

Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).

34. Уравнение касательной.

Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)

34. Определение эластичности функции.

функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

35. Теорема Ролля.

Если функция, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

36. Теорема Лагранжа.

непрерывна на отрезке [a, b];

дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

37. Теорема Коши.

Пусть даны две функции f(x) и g(x)такие, что:

f(x) и g(x)определены и непрерывны на отрезке ;

производные иконечны на интервале;

производные ине обращаются в нуль одновременно на интервале

;

, где

(Если убрать условие 4, то необоходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a,b).)

38. Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный),

то существует и предел

при этом выполняется равенство:

39. Производные и дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.

Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

dny=d(d n-1 y) — диф-л n-го порядка

40. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и xa найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение

представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f ( n+ 1) (x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при xa более высокого порядка, чем (x-a) n . Таким образом, остаточный член можно записать в виде

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

Приведем разложения некоторых элементарных функций поформуле Маклорена

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f (x)= =

f ′(xо)= = ===3

f ’(x)= =

f ′(xо)= = = =cosx0

28. f(x)=, xо =9

f ’(x)= =

f ’(x)= = ==1/6

29. f(x)=, xо =1

f ’(x)= =

f ’(x)= = ===-2

f ’(x)= =

31.

f (x)= =

Найдите эластичность функции f (x) в точке x0:

Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел

f (x) = x 4 => E(x)=, при x0 = 9.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел

E(x)=

studfiles.net

Урок по теме «Правила дифференцирования»

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

“Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является
осуществлением того, что математически проще всего представить”.
А. Эйнштейн (1879-1955)

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

образовательные:

  • обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
  • закрепить правила дифференцирования;
  • раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;

развивающие:

  • осуществить контроль усвоения знаний и умений;
  • развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
  • развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;
  • воспитательные:

    • развить познавательный процесс;
    • воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.
    • Оборудование:

      • бланк самоконтроля ;
      • компьютер для демонстрации слайдов;
      • таблица производных; дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.
      • Ход урока

        Учитель: Здравствуйте. Садитесь. И, конечно же, улыбнитесь.

        Просто так, без особой причины. Улыбаясь, мы делаем мир гармоничнее и светлее. Вы постоянно задаёте вопрос: “А зачем нам это надо? Где мы встречаемся с производной и используем её?”. Нужно отметить, что производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процессов: неравномерное механическое движение, переменный ток, химические реакции и радиоактивный распад вещества, развитие экономики и т.д. А чтобы научиться использовать производную функции в различных областях, необходимо элементарно научиться её находить. Поэтому сегодня мы будем продолжать учиться находить производные элементарных функций, используя правила и формулы дифференцирования.

        I. Проверка домашнего задания.

        1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.

        2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися. (Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.)

        II. Актуализация знаний.

        Учитель: Дать определение производной функции.

        1. Какая операция называется дифференцированием? (Дифференцирование – это операция нахождения производной).
        2. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость)
        3. Каков геометрический смысл производной перемещения? (Тангенс угла наклона касательной).
        4. Можно ли найти производную скорости? Как она называется? (Ускорение)
        5. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t0; при переходе через точку t0 производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное)
        6. Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (к доске приглашаются желающие учащиеся).

        а) производная суммы;

        б) производная произведения;

        в) производная, содержащая постоянный множитель;

        г) производная частного;

        д) производная сложной функции.

        III. Выполнение проверочной работы

        (первый вариант выполняет нечетные номера, вторые – четные номера проверочной работы)

        IV. Решение задач ЕГЭ по дифференцированию.

        Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t 2 + t +2 (t- время движения в секундах). Через сколько секунд, после начала движения, мгновенная скорость тела будет равна 5 м/с?

        На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке.

        V. Физкультминутка (гимнастика для глаз).

        VI. Выполнение дифференцированных заданий.

        Каждый учащийся определяет для себя уровень теста (уровень А и В).

        Задание: укажите пары “функция-график производной этой функции”.

        Предлагается проверка ответов учащимся с помощью слайдов.

        VII. Работа в парах (найти производные функции).

        Дополнительные задания:

        1. Точка движется прямолинейно согласно закону S(t) = t 2 – 6t + 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Найдите скорость движения точки.

        2. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t 3 – 3t 2 . Выберите, какой из формул v(t) = t 2 – 2t; v(t) = Зt 2 – 6t; v(t) = 3t 2 – 3t задается скорость движения этой точки в момент времени t.

        3. Прямолинейное движение точки происходит по закону S(t) = 2t 2 – 4t – 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Определите, в какой момент времени скорость движений точки будет составлять 4 см/с.

        4. Найдите кинетическую энергию тела массой 1 кг, движущегося прямолинейно по закону S(t) = t 2 + t (время измеряется в секундах, путь в метрах).

        5. Найдите ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно, если скорость изменяется согласно закону v(t) = 6t 2 + 1 (м/с).

        VIII. Подведение итога урока. Рефлексия.

        Самоанализ работы на уроке (что вызывало затруднения, что было интересно и т.д.).

        Учащиеся сдают бланки на проверку учителю.

        Домашнее задание:

        1. решить любые 2 задачи из дополнительных заданий,
        2. по желанию выполнить дополнительный тест ,
        3. Подготовить сообщения о Лейбнице и последователях Ньютона и Лейбница.
        4. xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

          Тема урока: «Дифференциальное исчисление»

          Разделы: Математика

          Дифференциальное исчисление — это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

          Центральные понятия дифференциального исчисления — производная и дифференциал — возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них — физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно одну из них.

          Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t- время, отсчитываемое от начала падения; a s(t)- пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость s(t) имеет следующий простой вид:

          где t-время в секундах, а g физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с 2 .

          Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)? Ясно, что, зная зависимость s(t), т.е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости v(t) как функции времени.

          Попробуем найти зависимость v от t. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h- небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный s(t + h)s(t). Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно

          причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t + h, когда величина h стремится к нулю. Сказанное записывают в виде

          Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости

          Сделаем сначала элементарные вычисления:

          а теперь, разделив на h, получаем

          Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому

          нашли закон v(t)=gt изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений v(t) мгновенной скорости изменения функции s(t).

          Поскольку скорость v(t) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если v(t) — скорость как функция времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения а(t) в момент времени t получаем выражен

          Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения, в котором, как вычислили, v (t) = gt:

          и, поскольку g — постоянная, то из (4) получается, что a (t) =g, т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина g есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.

          Нетрудно заметить полное сходство выражений (3), (4) и понять, что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам (3), (4), как убедились, зависит от конкретного вида функций s(t) или v(t), но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул (3), (4) одни и те же.

          Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции y=f(x) рассматривают важную величину:

          которую называют производной функции f.

          Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.

          Значение производной f'(х) зависит от значения аргумента х, поэтому, как и в случае скорости, производная f‘(х) некоторой функции f(х) сама является функцией переменной х.

          Например, если f(х) = х 3 , то

          далее, при h, стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению Зх 2 . Мы нашли таким образом, что если f(х) = х 3 , то f'(х) = Зх 2 .

          В формуле (5) величину h разности (x + h)- х называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом х, а разность f(x + h)-f(x) обозначают обычно через df и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (5) приобретает вид:

          или

          Таким образом, значение f‘(х) производной функции f(х) в точке х — это предел отношения приращения функции , соответствующего смещению от точки х, к приращению аргумента х, когда стремится к нулю.

          Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование-это определение скорости изменения переменной величины.

          В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций х а , sinх, cosx являются соответственно функции ах a-1 , cosx и — sinx.

          В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования (Приложение1) :

          Смотрите еще:

          • Право на использование материнского капитала Направляем материнский капитал на улучшение жилищных условий Анна Мазухина, Эксперт Службы Правового консалтинга компании "Гарант" Право на федеральный материнский капитал имеет любая женщина-россиянка, родившая или усыновившая второго или последующего ребенка (тоже гражданина России) в […]
          • Удо условно-досрочное освобождение Условно-досрочное освобождение (УДО) Условно-досрочное освобождение от отбывания наказания (УДО), согласно ст.79 УК РФ, подразумевает, что лицу, отбывающему содержание в дисциплинарной воинской части, принудительные работы или лишение свободы, подлежит условно-досрочному освобождению, […]
          • Как считается стаж работы по специальности Непрерывный трудовой стаж для получения пенсии Непрерывный трудовой стаж — этот термин прочно закрепился в сознании многих россиян благодаря трудовому законодательству советского периода, однако в настоящее время он свою былую значимость уже утратил. В этой статье поговорим об […]
          • Заявление на продление карты Перевыпуск карты Сбербанка Необходимость в замене пластика может возникнуть по целому ряду разных причин внешний вид пластик непрезентабелен или он поврежден; информация, указанная продукте о фамилии владельца не соответствует действительности в виду ее смены; пластик удержал […]
          • Заявление на лагерь летний Заявление на лагерь летний О б организации летнего отдыха, оздоровления и занятости детей в 201 8 году Постановление Администрации города Ачинска № 147-п от 21.05.2018 "Об организации работы лагерей с дневным пребыванием детей в период летней оздоровительной кампании 2018 года. […]
          • Претензия экспедитору образец Претензия заказчику (поставщику) - обязательный досудебный порядок урегулирования споров Что такое претензия Понятие "претензия" законодательством РФ не определено, поэтому попробуем сформулировать его самостоятельно: претензия (от лат. praetensio - притязание) - это письменное […]