Нормальный закон распределения сроков службы

Основы теории надёжности.

Ивашов Евгений Николаевич

Введение в предметную область,

работоспособность и надёжность изделия.

§1. Общие положения.

Работоспособность – состояние технического объекта (т.о.), при котором он способен нормально выполнять заданные функции, сохраняя значения заданных параметров в пределах, установленных в нормативно-технической документацией.

Надёжность – свойство т.о. выполнять заданные функции в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени.

Точность – это степень соответствия чему-либо.

Безотказность – свойство т.о. непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или некоторой наработки.

Сохраняемость – свойство т.о. непрерывно сохранять исправное состояние в течение всего времени хранения.

Ремонтопригодность – свойство т.о., заключающееся в приспособлении к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов и устранению их последствий путём проведения ремонта.

Долговечность – свойство т.о.сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания.

§2. Законы распределения сроков службы до отказа.

Законы распределения сроков службы до отказа получены путём экспериментальных исследований.

Нормальный закон используется в механике.

Экспоненциальный закон применяется для характеристики изделий электроники.

В теории надёжности существует множество законов распределения:

–плотность распределения (плотность вероятности).

–функция распределения (функция вероятности).

§3.Количественные характеристики надёжности.

Качественное определение надёжности является недостаточным, т.к. не позволяет учитывать надёжность конкретных устройств на конкретных объектах. Возникает необходимость введения количественных характеристик надёжности.

1. Вероятность безотказной работы – это вероятность того, что в заданном интервале времени t в системе не возникает отказ.

Эта характеристика связана с вероятностью отказа следующим образом:

– теоретическая величина. Здесь – вероятность отказа.

Для определения величины используется следующая статистическая оценка:

– экспериментальная величина. Здесь – число изделий, поставленных на испытание;– число изделий, отказавших в течение времениt

При большом количестве испытаний

2. Вероятность бессбойной работы – это вероятность того, что в заданном интервале времени t будут отсутствовать сбои в работе т.о.

где – это вероятность отсутствия сбоя.

Для определения величины используется следующая статистическая оценка:

–число изделий, у которых произошёл сбой в течение времени t.

3. Частота отказов представляет собой плотность распределения времени отказа или производную от вероятности отказа.

Для определения величины используется следующая статистическая оценка:

где – число отказавших изделий в интервале времени отдо, т.е.

4. Интенсивность отказов представляет собой условную плотность распределения времени безотказной работы для момента времени , при условии, что до момента времениt отказ устройства не произошёл.

; ;

Для определения величины интенсивности отказа используется следующая статистическая оценка:

; где

где – среднее число исправно работающих изделий в интервале времениt.

5. Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) представляют собой мат. ожидание наработки до первого отказа.

или

(для экспоненциального закона)

Для определения средней наработки до отказа используется средняя статистическая оценка:

,

где ti – время безотказной работы i-го изделия.

6. Вероятность восстановления – вероятность того, что отказавшее изделие будет восстановлено в течение заданного времени t. Указанная характеристика представляет собой функцию распределения времени восстановления.

; 0≤S(t)≤1; S(0) = 0; S() = 1

Для определения величины S(t) используется следующая статистическая оценка:

S * (t) =

где NB – число изделий, время восстановления которых было меньше заданного времени t, – число изделий, поставленных на восстановление.

7. Частота восстановления – это плотность распределения времени восстановления.

Для определения величины используется следующая статистическая оценка:

–это число восстановленных изделий на интервале времени

8. Интенсивность восстановления – условная плотность распределения времени восстановления для момента времени t, при условии, что до этого момента восстановления изделия не произошло.

Для определения величины (t) используется следующая статистическая оценка:

–это среднее число изделий, которые не были восстановлены в интервале

времени

9. Среднее время восстановления представляет собой мат. ожидание времени восстановления.

Для определения величины  используется следующая статистическая оценка:

,

где – длительность восстановленияi-го изделия.

10. Параметр потока отказа – это мат. ожидание числа отказов, произошедших за единицу времени, начиная с момента времени t.

– средняя наработка на отказ.

Для определения величины (t) используется следующая статистическая оценка:

–число изделий, отказавших в интервале времени при условии, что отказавшее изделие немедленно заменяется новым.

11. Функция готовности .

–вероятность того, что в момент времени t аппаратура работоспособна. Для определения величины используется следующая статистическая оценка:

где Nt – число изделий, находящихся в исправном состоянии в момент времени t;

–общее число изделий.

12. Коэффициент готовности.

–вероятность того, что аппаратура работоспособна в произвольный момент времени.

Для определения величины используется следующая статистическая оценка:

где i-й интервал времени исправной работы изделия; i-й интервал восстановления изделия; n – число отказов изделия

13. Коэффициент оперативной готовности – вероятность того, что аппаратура будет работоспособная в произвольный момент времени t и безотказно проработает заданное время .

Для определения величины R(t,) используется следующая статистическая оценка:

– число изделий, исправленных в момент времени t и безотказно проработали в течение времени .

14. Коэффициент технического использования. Относительная доля времени в цикле , когда механическое устройство выполняет заданные функции. Полное время цикламожет быть разделено на следующие составляющие:

tp – рабочее время, т.е. время, затребованное на выполнение заданных функций

tв – время, затрачиваемое на восстановление после восстановление отказа

tn – время, затраченное на проведение профилактического предприятия

tк – время, затраченное на проведение контроля

Для определения этого коэффициента используется следующая статистическая оценка:

studfiles.net

Нормальный закон распределения сроков службы

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ

Отказы в системах возникают под воздействием разнообразных факторов. Поскольку каждый фактор в свою очередь зависит от многих причин, то отказы элементов, входящих в состав системы, относятся, как правило, к случайным событиям, а время работы до возникновения отказов — к случайным величинам. В инженерной практике возможны и не случайные (детерминированные) отказы (отказы, возникновение которых происходит в определенный момент времени, т.е. в момент возникновения причины, так как существует однозначная и определенная связь между причиной отказа и моментом его возникновения). Например, если в цепи аппаратов ошибочно поставлен элемент, не способный работать при пиковой нагрузке, то всякий раз когда возникает эта нагрузка, он обязательно перейдет в отказовое состояние. Такие отказы выявляются и устраняются в процессе проверки технической документации и испытаний.

При анализе надежности объектом исследования являются случайные события и величины. В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. В принципе можно взять любую кривую, площадь под которой равна единице, и использовать ее в качестве кривой распределения случайной величины. Поэтому прежде чем приступить к инженерным методам расчета надежности и испытаний на надежность, следует рассмотреть закономерности, которым они подчиняются.

Случайное событие

Случайное событие — событие (факт, явление), которое в результате опыта может произойти или не произойти. Случайные события (отказы, восстановления, заявки на обслуживание и др.) образуют случайные потоки и случайные процессы. Поток событий — последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то отрезки времени. Например, отказы восстанавливаемого устройства образуют поток событий (поток отказов). Под действием потока отказов и потока восстановлений техническое устройство может находиться в различных состояниях (полного отказа, частичного отказа, работоспособное). Переход изделия из одного состояния в другое представляет собой случайный процесс .

Случайная величина

Случайная величина — величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина может быть дискретной (число отказов за время t, число отказавших элементов при наработке заданного объема и т.д.), либо непрерывной (время наработки элемента до отказа, время восстановления работоспособности).

Закон распределения случайной величины — соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.

Для характеристики случайной величины (непрерывной и дискретной) используется вероятность того, что случайная величина X меньше некоторой текущей переменой x.

Функция распределения случайной величины X (интегральный закон распределения) — функция вида F(x) = p (X 2 — распределение; логарифмически-нормальное распределение.

Биноминальный закон распределения числа n появления события A в m независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, вероятность непоявления события A равна q=1-p; число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n событий в испытаниях будет
, (4.3.2)

где — число сочетаний из m по n.

Свойства распределения следующие:
1) число событий n — целое положительное число;
2) математическое ожидание числа событий равно mp;
3) среднеквадратическое отклонение числа событий

.

При увеличении числа испытаний биноминальное распределение приближается к нормальному со средним значением n/m и дисперсией p(1-p)/m.

Закон Пуассона — распределение чисел случайного события ni за время t . Вероятность возникновения случайного события n раз за время t

Pn( t ) = exp(- lt ), (4.3.3)
где l — интенсивность случайного события.

Свойства распределения следующие:
1) математическое ожидание числа событий за время t равно lt ;
2) среднеквадратическое отклонение числа событий
.

Характерный признак распределения Пуассона — равенство математического ожидания и дисперсии. Это свойство используется для проверки степени соответствия исследуемого (опытного) распределения с распределением Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биноминального распределения, если число испытаний m неограниченно возрастает, а математическое ожидание числа событий a= lt остается постоянным.
Тогда вероятность биноминального распределения при каждом n, равном 0,1,2. стремится к пределу

.

Закон Пуассона используется тогда, когда необходимо определить вероятность того, что в изделии за заданное время произойдет один, два, три и т.д. отказов.

Экспоненциальный (показательный) закон распределения случайной величины X (рис. 4.3.3,а) записывается в общем случае так:
P(x) = еxp (- l x),
где P(x) — вероятность того, что случайная величина X имеет значение больше x; значения е -х даются в прилож. 1.

В частном случае, когда за случайную величину принимается время работы объекта t, вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет находиться в работоспособном состоянии, равна еxp(- l t):
P(t) = еxp(- l t), (4.3.4)
где l — интенсивность отказов объекта для экспоненциального распределения (она постоянна), т.е l = const.
Выражение (4.3.4) можно получить непосредственно из (4.3.3), если число отказов n принять равным 0.

Вероятность отказа за время t из (4.3.4)
Q(t) = 1 — P(t) = 1 — еxp (- l t). (4.3.5)

Плотность вероятности отказов
f(t) = ¶ Q/ ¶ t = l еxp (- l t). (4.3.6)

Рис. 4.3.3. Распределения: а – экспоненциальное;
б — g -распределение; в — Вейбулла;
г — нормальное; д — усеченное нормальное;
е — Рэлея

Среднее время работы до возникновения отказа
. (4.3.7)

Дисперсия времени работы до возникновения отказа
. (4.3.8)

Среднеквадратическое время работы
s (t) = T1.

Равенство среднеквадратического отклонения среднему времени работы — характерный признак экспоненциального распределения.

Статистические материалы об отказах элементов свидетельствуют о том, что в основном время их работы подчиняется экспоненциальному закону распределения. Условием возникновения экспоненциального закона распределения времени до отказа служит постоянство интенсивности отказов, что характерно для внезапных отказов на интервале времени, когда период приработки объекта закончился, а период износа и старения еще не начался, т.е. для нормальных условий эксплуатации. Постоянной становится интенсивность отказов сложных объектов, если вызываются они отказами большого числа комплектующих элементов.

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия становится близким к простейшему, т.е. с постоянной интенсивностью отказов.

Этими обстоятельствами, а также тем, что предположение об экспоненциальном распределении существенно упрощает расчеты надежности, объясняется широкое применение экспоненциального закона в инженерной практике.

Гамма-распределение случайной величины (рис. 4.3.3,б). Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами l 0, плотность вероятности отказа устройства
f(t) = , (4.3.9)

где l 0 — исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов.

Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств. Равенство (4.3.9) получается из (4.3.3).

Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа данного устройства,
P(n ³ k) = 1 — ехp(- l 0 t). (4.3.10)

Плотность вероятности отказа устройства за время t

f(t)= = . (4.3.11)

Среднее время работы устройства до отказа
T1 = kT0 = k/ l 0 . (4.3.12)
Интенсивность отказов устройства
. (4.3.13)
Вероятность безотказного состояния устройства
P(t) = еxp(- l 0 t) . (4.3.14)

При k = 1 g -распределение совпадает с экспоненциальным распределением.

При увеличении k g -распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.

Распределение Вейбулла . Для случая, когда поток отказов не стационарный, т.е. плотность потока изменяется с течением времени, функция распределения времени до отказа приобретает вид, показанный на рис. 4.3.3,в.

Плотность вероятности отказов этого распределения:
f(t) = la t a -1 еxp(- l 0 t a ). (4.3.15)
Вероятность отсутствия отказа за время t
P(t) = еxp(- l 0 t a ). (4.3.16)
Интенсивность отказов
l (t) = al0 t a -1 . (4.3.17)

В (4.3.15) — (4.3.17) a и l 0 — параметры закона распределения. Параметр l 0 определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При a = 1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при a 1 — монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры a и l 0, с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными. Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения — признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения ( a = 1,4 — 1,7).
Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:
T = . (4.3.18)

Значения Г (гамма-функции) табулированы (прилож. 2).

Нормальное распределение (рис. 4.3.3,г) случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.

Плотность вероятности отказов
f(t) = еxp[-(t-T) 2 /2 s 2 ], (4.3.19)

где T — средняя наработка до отказа; s — среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы.

Вероятность отказа время t
F(t)= еxp[-(t-T) 2 /2 s 2 ]. (4.3.20)

Значение функции распределения определяется формулой
F(t) = 0,5 + Ф(u) = Q(t); u = (t-T) / s . (4.3.21)
Вероятность отсутствия отказа за время t
P(t) = 1-Q(t) = 1-[0,5+Ф(u)] = 0,5 — Ф(u). (4.3.22)
Значения F(t) табулированы (прилож. 3).

График l (t) показан на рис. 4.3.3,г. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после T начинает приближаться к асимптоте:
y = (t-T) / s . (4.3.23)

Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени — характерный признак нормального распределения. Нормальное распределение существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета времени t в (4.3.20) служит начало эксплуатации объекта, т.е. момент, когда начинается процесс износа и старения, а началом отсчета в (4.3.4) — момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент может быть расположен в любой точке на оси времени).

Усеченное нормальное распределение (рис. 4.3.3, д). Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от — ¥ до + ¥ , а время безотказной работы может быть только положительным, следует рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью вероятности отказов
f(t) = еxp[-(t-T1) 2 /2 s 2 ]. (4.3.24)

Нормирующий множитель c определяется из выражения

c = 1 (4.3.25)

c = 1/F(T1/ s ) = 1/[0,5+Ф0(T1/ s )], (4.3.26)
где F(T1/ s ) = 1/2 p (4.3.27)
— табулированная (прилож. 4) интегральная функция нормального распределения;
Ф0(T1/ s ) = 1/2 p (4.3.28)
— нормированная функция Лапласа.

Тогда (3.24) запишется следующим образом:
f(t) = еxp[-(t-T1) 2 /2 s 2 ]. (4.3.29)

Средняя наработка до отказа в усеченном распределении и параметр T1 неусеченного нормального распределения связаны зависимостью

T = T1 + f(t) = . (4.3.30)

При T/ s ³ 2, что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент c мало отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

Вероятность безотказной работы определяется из выражения
P(t) = . (4.3.31)

Интенсивность отказов находится из

l (t) = . (4.3.32)

Распределение Рэлея (рис. 4.3.3,е) — непрерывное распределение вероятностей с плотностью

p(x) = x/ s 2 exp(-x 2 /2 s 2 ) при x > 0;
p(x) = 0 при x £ 0,

зависящей от масштабного параметра s > 0. Распределение имеет положительную асимметрию, его единственная мода находится в точке x = s . Все моменты распределения Рэлея конечны.

Также как и распределение Вейбулла или g -распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется:

f(t) = t/ s 2 еxp(-t 2 /2 s 2 ). (4.3.33)
Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения
P(t) = еxp(-t 2 /2 s 2 ). (4.3.34)
Интенсивность отказов находится из
l (t) = t/ s 2 . (4.3.35)
Средняя наработка до первого отказа составит
Т= . (4.3.36)

О выборе закона распределения отказов при расчете надежности

Определение закона распределения отказов имеет большое значение при исследованиях и оценках надежности. Определение P(t) по одной и той же исходной информации о T, но при различных предположениях о законе распределения может привести к существенно отличающимся результатам.

Закон распределения отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить. Кроме того, такое решение содержит черты пассивной регистрации событий.

Вместе с тем во многих случаях за время эксплуатации успевает отказать лишь незначительная доля первоначально имевшихся объектов. Полученным статистическим данным соответствует начальная (левая) часть экспериментального распределения.

Более рационально — изучение условий, физических процессов при которых возникает то или другое распределение. При этом составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения времени до появления отказа, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Опытные данные должны служить средством проверки обоснованности прогноза, а не единственным источником данных о законе распределения. Такой подход необходим для оценки надежности новых изделий, для которых статистический материал весьма ограничен.

www.obzh.ru

Смотрите еще:

  • Суды это государственная служба Работу в аппарате суда предлагают выделить в отдельный вид государственной службы Постановления о внесении в Госдуму законопроекта о государственной судебной службе (далее – законопроект о судебной службе) и двух законопроектов о поправках в ряд федеральных конституционных и федеральных […]
  • Как оформляется квартира по наследству Регистрация права собственности на квартиру по наследству с завещанием и без него Движимое и недвижимое имущество, а также имущественные права — всё это может быть объектом передачи по наследству. Недвижимое имущество практически всегда становится объектом наследования и чаще всего […]
  • Тендеры федеральный закон 44 РосТендер - все тендеры России Компания «РосТендер» поможет оптимизировать процесс сбора информации о проводимых в РФ государственных и коммерческих тендерах. Каждый день на электронную почту Вы будете получать удобную рассылку новых тендеров в соответствии с Вашими отраслевыми и […]
  • Размер госпошлины при получении выписки из егрюл Госпошлина за выписку В ценах на выписки, представленные на нашем сайте (горящие, срочные, электронные), ГОСПОШЛИНА ВКЛЮЧЕНА в стоимость выписок . Оплата госпошлины по реквизитам При заказе выписки из ЕГРЮЛ, получении выписки из ЕГРИП или запроса выписки из ЕГРП Вам не надо выяснять […]
  • Досрочная пенсия назначается при условиях Досрочная пенсия по предложению государственной службы занятости Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 13 октября 2015 В 2015 году жителям Еврейской автономной области назначено 26 пенсий по предложению службы занятости Закон […]
  • Квартира в ипотеке раздел при разводе Как при разводе делится ипотечная квартира? Непогашенный ипотечный кредит добавляет сложностей при разводе. У бывших супругов возникает множество вопросов. Как при разводе делится ипотечная квартира? Кто и в каком размере будет выплачивать кредит в дальнейшем? Что делать с созаемщиком […]