Как найти разность чисел правило

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если « a » и « b » — положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

Стоит запомнить выражения ниже.

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

math-prosto.ru

Что такое разность чисел в математике и как найти разность чисел

В этой статье мы рассмотрим, что такое разность чисел в математике, и как человеку, интересующемуся этой наукой, найти разность чисел.

Что такое разность чисел в математике

Вычитание является одной из 4 арифметических операций. Для его обозначения служит математический знак «−» (минус). Вычитание противоположно по смыслу операции сложения.

Операция вычитания в общем случае записывается следующим образом:

Здесь разностью чисел будет являться число 4. Следовательно, разность между любыми числами A и B это такое число C, которое при прибавлении к B даст в сумме A (4 при прибавлении к 2 дает 6 — значит, 4 это разность 6 и 2).

Как найти разность чисел

Уже из самого определения следует, как вычислить разность между двумя числами. При небольших числах можно делать это в уме. Детей в начальной школе учат следующим образом. Представьте, что у Вас есть 5 яблок, и 3 из них забрали. Сколько у Вас осталось? Правильно — 2 яблока. Постепенно Вы доведете вычисления до автоматизма и будете сразу выдавать ответ.

Однако для чисел выше 50 такое наглядное представление перестает работать. Большое количество предметов тяжело представить в уме, поэтому здесь на помощь приходит другой способ:

Вычисление разности в столбик

Школьники изучают этот способ в рамках курса математики, обычно во втором или третьем классе. Взрослые люди, пользующиеся калькулятором, зачастую забывают, как считать в столбик. Однако калькулятор не всегда бывает под рукой. Освежите в памяти школьные знания, посмотрев это видео.

Вычисление разности в столбик – видео

Этот способ применим и тогда, когда Вам нужно вычесть большее число из меньшего. В реальной жизни такое обычно не требуется, но может пригодиться при решении математических задач.

Допустим, в примере «A − B = C» B больше, чем A. Тогда C будет отрицательным. Чтобы вычислить разность, «разверните» пример: посчитайте значение B − A. Когда Вы закончите считать эту разность, у вас получится число C, только с противоположным знаком: оно будет больше нуля. Чтобы завершить вычисления, припишите к нему спереди знак минус. Полученный результат — отрицательное число C, и будет искомым значением разности A − B.

www.chto-kak-skolko.ru

Как найти разность чисел в математике

Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

  • сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
  • разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
  • произведение — результат умножения чисел;
  • частное — результат деления.
  • Это интересно: что такое модуль числа?

    Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

    • сумма — прибавить;
    • разность — отнять;
    • произведение — умножить;
    • частное — разделить.
    • Разность в математике

      Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

      • Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
      • Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
      • Это вычитание одного числа из другого.
      • Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
      • Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
      • Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
      • Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
      • Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

      И все эти определения являются верными.

      Как найти разницу величин

      Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

    • Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.
    • Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

    • Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.
    • Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

    • Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
    • Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.
    • Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

    • Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
    • Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
    • Математические действия с разностью чисел

      Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

      Простые примеры

      • Пример 1. Найти разницу двух величин.
      • 20 — уменьшаемое значение,

        Решение: 20 — 15 = 5

        Ответ: 5 — разница величин.

      • Пример 2. Найти уменьшаемое.
      • 32 — вычитаемое значение.

        Решение: 32 + 48 = 80

      • Пример 3. Найти вычитаемое значение.
      • 17 — уменьшаемая величина.

        Решение: 17 — 7 = 10

        Ответ: вычитаемое значение 10.

        Более сложные примеры

        На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

      • Пример 4. Найти разницу трёх значений.
      • Даны целые значения: 56, 12, 4.

        56 — уменьшаемое значение,

        12 и 4 — вычитаемые значения.

        Решение можно выполнить двумя способами.

        1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

        1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

        2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

        1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

        Ответ: 40 — разница трёх значений.

      • Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.
      • Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

        4/5 — уменьшаемая дробь,

        Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

        Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5

      • Пример 6. Утроить разницу чисел.
      • А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

        Вновь прибегнем к правилам:

      • Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
      • Утроенное число — это величина, умноженная на три.
      • Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
      • Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.
      • 7 — уменьшаемая величина,

        5 — вычитаемая величина.

        2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.

      • Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.
      • 7 — уменьшаемая величина;

        Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

        И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

      • Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.
      • Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

        Математика для блондинок

        Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

        В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

        И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

      • сумму — сложением слагаемых;
      • произведение — умножением множителей;
      • частное — делением делимого на делитель.
      • Вот такая интересная арифметика.

        obrazovanie.guru

        Вычитание натуральных чисел: правила, примеры и решения

        Ранее мы изучали, что такое натуральные числа и какие существуют свойства для того, чтобы производить вычитание. В данной статье представлены основные правила, которые помогут нам выполнять вычитание натуральных чисел. Для того, чтобы информация была понятна и быстро запомнилась, мы снабдили теоретический материал подробно разобранными упражнениями и типичными примерами.

        Как связаны сложение и вычитание

        Сложение и вычитание тесно связаны. Вычитание – это действие, обратное для сложения. Чтобы усвоить эту информацию, следует рассмотреть подробный пример.

        Представим, что в результате сложения предметов c и b , мы получаем предмет a . Исходя из основ сложение натуральных чисел, можно сделать вывод, что c + b = a . Если мы воспользуемся переместительным свойством сложения, то сможем преобразовать полученное равенство как b + c = a . Делаем вывод, что если из а вычесть b , то останется c . Данное равенство a − b = c будет считаться справедливым. По аналогии получаем, что, отняв от а число c , то останется b , то есть, a − c = b .

        Благодаря примеру, который мы рассмотрели выше, можно сделать вывод, что если сумма чисел c и b равна a, то число c является разностью натуральных чиселси b , а число b – разностью чисел a и c . То есть, c = a − b и b = a − c , если c + b = a .

        Преобразуем данное утверждение и получим важное правило.

        Если сумма двух чисел c и b равна a, то разность a − c равна b , а разность a − b равна c .

        Теперь мы можем отчетливо увидеть, что сложение и вычитание неразрывно связаны. Исходя из этого факта, можно вывести понятие.

        Вычитание – это действие, с помощью которого находится одно слагаемое, когда известна сумма и другое слагаемое.

        Данное определение зачастую применяется в различных примерах и задачах.

        Как выполнять вычитание с помощью таблицы

        Таблица сложения зачастую может быть использована для нахождения суммы двух чисел и для нахождения одного слагаемого в том случае, если известна сумма и другое слагаемое.

        Рассмотрим данное утверждение на примере. Рассмотрим упражнение, в котором необходимо найти неизвестное слагаемое, если известно, что второе слагаемое равно 5 , а сумма равна 8 .

        Это может быть выполнено двумя способами. Воспользуемся графической иллюстрацией, на которой известные числа выделены красным, а найденные – синим.

        Рассмотрим несколько способов.

        Первый способ. Необходимо найти строку в таблице, известное слагаемое расположено в крайней левой ячейке (берем известное число 5 ). После этого необходимо найти столбец, пересекающийся с найденной строкой в ячейке. Эта строка должна содержать известную сумму (согласно примеру, число 8 ). Число, которое нам необходимо найти, расположено в верхней ячейке найденного столбца. Делаем вывод, что число 3 – это и есть искомое слагаемое.

        Второй способ. Необходимо найти в таблице сложения столбец, в верхней ячейке которого располагается известное слагаемое. Находим строчку, пересекающуюся с известным столбцом в ячейке, который соответствует известной сумме. Делаем вывод, что слагаемое, которое требуется найти, расположено в крайней левой ячейке этой строки.

        Так, как мы знаем, что сложение и вычитание тесно связаны, эта таблица может быть использована и для поиска разности натуральных чисел. Подробно рассмотрим данную теорию на примере.

        Представим, что необходимо вычесть число 7 из числа 16 . Делаем вывод, что вычитание сводится к нахождению числа, которое в сумме с числом 7 даст число 16 . Воспользуемся использованной выше таблицей.

        Вычтя из числа 16 число 7 , получаем искомую разность 9 .

        Для того, чтобы пользоваться данной таблицей, рекомендуем заучить информацию и довести процесс нахождения чисел по таблице до автоматизма.

        Как производить вычитание разрядов чисел

        С помощью таблицы сложения, которую мы рассмотрели выше, можно вычитать десятки из десятков, сотни из сотен, тысячи из тысяч. Так, как мы легко можем работать с простыми числами, так, и по аналогии, можно вычитать десятки и сотни. Например, 6 сотен минус 2 сотни равно 4 сотням, то есть, 600 − 200 = 400 . Также мы можем использовать таблицу и в других случаях.

        Если вспомнить, что одна сотня – это 10 десятков, одна тысяча – это 10 сотен, то мы можем вычислять разность, десятков, сотен, тысяч и других чисел.

        Необходимо вычислить разность 100 − 70 .

        Преобразуем числа как десятки. Получаем десять десятков и семь десятков. Из таблицы сложения получаем 10 − 7 = 3 , тогда разность 10 десятков и 7 десятков равна 3 десяткам, то есть, 100 − 70 = 30 .

        Необходимо вычислить разность 100 000 − 80 000 .

        Так как 100 000 – это 10 десятков тысяч, а 80 000 – это 8 десятков тысяч, а 10 − 8 = 2 . Получаем, что 100 000 − 80 000 = 20 000 .

        Вычитание натурального числа из суммы чисел

        Чтобы найти разность суммы двух чисел и числа, необходимо сначала вычислить сумму, из которого вычитается число. Чтобы упростить процесс вычитания, можно воспользоваться определенным свойством вычитания. Рассмотрим несколько примеров.

        Необходимо вычесть из суммы 50 + 8 натуральное число 20 .

        Сумма 50 + 8 – это сумма разрядных слагаемых числа 58 . Ищем варианты решения. Используем приведенное выше правило вычитания: так как 20 50 , то справедливо равенство ( 50 + 8 ) − 20 = ( 50 − 20 ) + 8 . Можем сделать вывод, что 50 − 20 = 30 ( 5 десятков – 2 десятка), тогда ( 50 − 20 ) + 8 = 30 + 8 . Искомое число – 38 .

        Решение можно представить в виде цепочки равенств: ( 50 + 8 ) − 20 = ( 50 − 20 ) + 8 = 30 + 8 = 38 .

        Необходимо вычесть из суммы 21 + 8 число 3 . Так, как и 3 21 и 3 8 , то справедливы равенства ( 21 + 8 ) − 3 = ( 21 − 3 ) + 8 и ( 21 + 8 ) − 3 = 21 + ( 8 − 3 ) .

        Выберем наиболее подходящий вариант вычисления. Вычитаем из меньшего числа. В примере 8 21 . Итак, ( 21 + 8 ) − 3 = 21 + ( 8 − 3 ) = 21 + 5 = 26 .

        Усложним пример. Необходимо вычислить разность числа 20 из суммы 20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1 . Воспользуемся свойством вычитания, которое мы изучили выше.

        Вычислить разность довольно легко: ( 20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1 ) − 20 = 20 000 + 6 000 + 300 + ( 50 − 20 ) + 1 = = 20 000 + 6 000 + 300 + 30 + 1 = 26 331 .

        Рассмотрим решение еще одного примера: ( 107 + 42 + 9 ) − 3 = 107 + 42 + ( 9 − 3 ) = 107 + 42 + 6 = 155 .

        Вычитание суммы чисел из натурального числа

        Чтобы вычесть сумму двух чисел из натурального числа, необходимо вычислить сумму, после чего провести вычитание.

        Можно использовать свойство вычитания, приведенное выше. Рассмотрим несколько примеров.

        Необходимо вычесть из числа 100 сумму 90 + 8 .

        Согласно свойству, получаем: 100 − ( 90 + 8 ) = ( 100 − 90 ) − 8 . Находим 100 − 90 = 10 .

        Представим вычисление как: ( 100 − 90 ) − 8 = 10 − 8 = 2 .

        Необходимо найти разность числа 17 и суммы чисел 8 и 4 .

        Получаем, что: 17 − ( 8 + 4 ) = ( 17 − 8 ) − 4 . Воспользуемся таблицей и получаем, что 17 − 8 = 9 , тогда ( 17 − 8 ) − 4 = 9 − 4 = 5 . Можно кратко записать решение как: 17 − ( 8 + 4 ) = ( 17 − 8 ) − 4 = 9 − 4 = 5 .

        Правая часть равенства a − ( b + c ) = ( a − b ) — c иногда записывается в виде a − ( b + c ) = a − b − c . В этом случае подразумевается, что a − b − c = ( a − b ) − c . Разность 15 − ( 7 + 2 ) можно представить, как 15 − 7 − 2 . Вычисляем разность – отнимаем от 15 число 7 . Вычитаем 2 из полученного результата.

        Таким образом, 15 − ( 7 + 2 ) = 15 − 7 − 2 = 8 − 2 = 6 .

        Используя свойство вычитания и сочетательное свойство сложения, можно найти разность суммы двух, трех и более чисел.

        Необходимо выполнить вычитание из числа 1 000 суммы трех чисел вида 900 + 90 + 1 .

        Сумму 900 + 90 + 1 представим, как 900 и 90 + 1 , то есть, 900 + 90 + 1 = 900 + ( 90 + 1 ) (изучите подходящий раздел для лучшего понимания). Используем свойство вычитания, изученное выше: 1 000 − ( 900 + ( 90 + 1 ) ) = ( 1 000 − 900 ) − ( 90 + 1 ) . Так как 1 000 − 900 = 100 , т о ( 1 000 − 900 ) − ( 90 + 1 ) = 100 − ( 90 + 1 ) . Вычитаем сумму из числа: 100 − ( 90 + 1 ) = ( 100 − 90 ) − 1 = 10 − 1 = 9 .

        Краткая запись решения имеет вид: 1 000 − ( 900 + 90 + 1 ) = ( 1 000 − 900 ) − ( 90 + 1 ) = 100 − ( 90 + 1 ) = ( 100 − 90 ) − 1 = 10 − 1 = 9

        Разность 1 000 − ( 900 + 90 + 1 ) также может выглядеть как ( ( 1 000 − 900 ) − 90 ) − 1 . Можно записать это по-другому как 1 000 − 900 − 90 − 1 . В этих случаях сначала находится разность первых двух чисел, далее от полученного результата вычитается третье число и так далее.

        Необходимо вычесть из числа 20 сумму чисел 10 , 4 , 3 и 1 . Получаем, что: 20 − ( 10 + 4 + 3 + 1 ) = 20 − 10 − 4 − 3 − 1 = 10 − 4 − 3 − 1 = 6 − 3 − 1 = 3 − 1 = 2 .

        Вычитание единиц из десятков, сотен, тысяч

        От числа 10 можно любое число от 1 до 9 . Используем таблицу, представленную выше. Но что делать в других случаях? Необходимо уменьшаемое представить, как сумму двух слагаемых, одно из которых равно 10 , после чего вычесть его из суммы. Закрепим знание материала примером:

        Необходимо вычесть из 60 число 5 .

        Число 60 представляем в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 10 . Второе числа находим, вычитая из 60 число 10 . Так как 60 − 10 = 50 , то 60 = 50 + 10 . Заменим 60 суммой 50 + 10 , получая 60 − 5 = ( 50 + 10 ) − 5 . Получаем, что: ( 50 + 10 ) − 5 = 50 + ( 10 − 5 ) = 50 + 5 = 55 .

        Рассмотрев вычитание единиц из десятков, перейдем к вычитанию единиц из сотен.

        Чтобы из 100 вычесть число от 1 до 10 нужно 100 представить, как 90+10 90 + 10 и прибегнуть к правилу.

        Необходимо найти разность 100 − 7 .

        Представим 100 как 90 + 10 и выполняем: 100 − 7 = ( 90 + 10 ) − 7 = 90 + ( 10 − 7 ) = 90 + 3 = 93 . Усложним пример. Отнимем от числа 500 число 3 . Представим 500 в виде суммы. Второе слагаемое = 500 − 100 , то есть, 400 . Имеем 500 = 400 + 100 . 100 = 90 + 10 , 500 = 400 + 90 + 10 .

        Таким образом, 500 − 3 = ( 400 + 90 + 10 ) − 3 .

        Закончим вычисление: ( 400 + 90 + 10 ) − 3 = 400 + 90 + ( 10 − 3 ) = 400 + 90 + 7 = 497 .

        Перейдем к вычитанию единиц из тысяч.

        Необходимо вычислить разность 1 000 − 8 .

        Так как 1 000 = 900 + 100 , а 100 = 90 + 10 , то 1 000 = 900 + 90 + 10 .

        Тогда 1 000 − 8 = ( 900 + 90 + 10 ) − 8 = 900 + 90 + ( 10 − 8 ) = 900 + 90 + 2 = 992 .

        Необходимо вычесть из 7 000 единицу.

        7 000 запишем как 7 000 = 6 000 + 1 000 = 6 000 + 900 + 100 = 6 000 + 900 + 90 + 10 .

        Делаем вывод:
        7 000 − 1 = ( 6 000 + 900 + 90 + 10 ) − 1 = 6 000 + 900 + 90 + ( 10 − 1 ) = 6 000 + 900 + 90 + 9 = 6 999 .

        Используя данный пример, мы сможем вычитать любые числа, также тысячные и десятитысячные.

        Необходимо вычислить разность 100 000 − 4 .

        Так как
        100 000 = 90 000 + 10 000 = 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
        то
        100 000 − 4 = ( 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10 ) − 4 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + ( 10 − 4 ) = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 6 = 99 996 .

        Необходимо вычесть из 4 000 000 число 5 .

        Так как
        4 000 000 = 3 000 000 + 1 000 000 = 3 000 000 + 900 000 + 100 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 10 000 = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
        то
        4 000 000 − 5 = ( 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10 ) − 5 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + ( 10 − 5 ) = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 5 = 3 999 995 .

        Вычитание единиц из произвольных чисел

        Будем считать, что уменьшаемое можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Подобные случаи мы рассматривали в предыдущих параграфах.

        Чтобы вычесть из такого числа однозначное число, нужно уменьшаемое разложить по разрядам, после чего вычесть число из суммы.

        Рассмотрим типичные примеры, которые помогут усвоить материал.

        Необходимо определить разность чисел 46 и 2 .

        Число 46 представляем как 40 + 6 , тогда 46 − 2 = ( 40 + 6 ) − 2 = 40 + ( 6 − 2 ) = 40 + 4 = 44 . Для того, чтобы усложнить задание, найдем разность 46 и 8 . Имеем 46 − 8 = ( 40 + 6 ) − 8 . Так как 8 больше, чем 6 , то: ( 40 + 6 ) − 8 = ( 40 − 8 ) + 6 . 40 − 8 вычислим по примеру: 40 − 8 = ( 30 + 10 ) − 8 = 30 + ( 10 − 8 ) = 30 + 2 = 32 . Тогда ( 40 − 8 ) + 6 = 32 + 6 = 38 . Теперь отнимем от 6 047 число 5 . Раскладываем 6 047 и вычитаем число из суммы: 6 047 − 5 = ( 6 000 + 40 + 7 ) − 5 = 6 000 + 40 + ( 7 − 5 ) = 6 000 + 40 + 2 = 6 042

        Закрепим навыки еще одним примером.

        Необходимо вычесть из числа 2 503 число 8 .

        Раскладываем и получаем: 2 503 − 8 = ( 2 000 + 500 + 3 ) − 8 . Так как 8 больше, чем 3 , но меньше, чем 500 , то ( 2 000 + 500 + 3 ) − 8 = 2 000 + ( 500 − 8 ) + 3 . Вычислим разность 500 − 8 , для этого представляем число 500 в виде суммы 400 + 100 = 400 + 90 + 10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту этой статьи) и выполняем необходимые вычисления:
        500 − 8 = ( 400 + 90 + 10 ) − 8 = 400 + 90 + ( 10 − 8 ) = 400 + 90 + 2 = 492 . 2 000 + ( 500 − 8 ) + 3 = 2 000 + 492 + 3 = 2 495 .

        Вычитание из произвольных натуральных чисел

        Чтобы вычесть десятки, сотни из числа, нужно уменьшаемое представить как сумму и выполнить вычитание. Разберем данный процесс на нескольких примерах.

        Найдем разность 400 и 70 .

        Разложим 400 как 300 + 100 . Тогда 400 − 70 = ( 300 + 100 ) − 70 . Согласно свойству, получим: ( 300 + 100 ) − 70 = 300 + ( 100 − 70 ) = 300 + 30 = 330 . Также можем отнять от числа 1 000 число 40 . Представим, что 1 000 − 40 = ( 900 + 100 ) − 40 = 900 + ( 100 − 40 ) = 900 + 60 = 960 .

        Согласно правилу, ( 7 000 + 900 + 100 ) − 10 = 7 000 + 900 + ( 100 − 10 ) = 7 000 + 900 + 90 = 7 990 .

        Пользуемся этим правилом в аналогичных случаях.

        Найдем 400 000 − 70 .

        400 000 разложим как 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 , тогда
        400 000 − 70 = ( 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 ) − 70 = 300 000 + 90 000 + 9 000 + + 900 + ( 100 − 70 ) = 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 30 = 399 993

        Воспользуемся схожим принципов для вычисления сотен, тысяч и других.

        Найдем 5 000 − 800 .

        Представим 5 000 как 4 000 + 1 000 . Тогда 5 000 − 800 = ( 4 000 + 1 000 ) − 800 . Используем свойство: ( 4 000 + 1 000 ) − 800 = 4 000 + ( 1 000 − 800 ) . Так как тысяча – это десять сотен, то 1 000 − 800 = 200 . Таким образом, 4 000 + ( 1 000 − 800 ) = 4 000 + 200 = 4 200 .

        Данное правило можно использовать для вычисления. Запомнить его, оно еще не раз вам пригодится.

        Найдем разность 140 и 40 .

        Так как 140 = 100 + 40 , то 140 − 40 = ( 100 + 40 ) − 40 . Получаем: ( 100 + 40 ) − 40 = 100 + ( 40 − 40 ) = 100 + 0 = 100 ( 40 − 40 ) = 0 в силу свойств, а 100 + 0 = 100 .

        Найдем 140 – 60 . Имеем 140 − 60 = ( 100 + 40 ) − 60 . Так как 60 больше, чем 40 , то: ( 100 + 40 ) − 60 = ( 100 − 60 ) + 40 = 40 + 40 = 80 .

        Вычитание произвольных чисел

        Рассмотрим правило, когда вычитаемое раскладывается по разрядам. После представления числа в виде суммы разрядных слагаемых используется свойство вычитания, описанное выше. Вычитание начитается с единиц, потом десятков, сотен и так далее.

        Вычислим 45 − 32 .

        Разложим 32 по разрядам: 32 = 30 + 2 . Имеем 45 − 32 = 45 − ( 30 + 2 ) . Представим, как 45 − ( 30 + 2 ) = 45 − ( 2 + 30 ) . Теперь применяем свойство вычитания суммы из числа: 45 − ( 2 + 30 ) = ( 45 − 2 ) − 30 . Осталось вычислить 45 − 2 , после чего отнять число 30 .

        Усвоив предыдущие правила, вы легко выполните это.

        Итак, 45 − 2 = ( 40 + 5 ) − 2 = 40 + ( 5 − 2 ) = 40 + 3 = 43 . Тогда ( 45 − 2 ) − 30 = 43 − 30 . Осталось представить уменьшаемое в виде суммы разрядных слагаемых и закончить вычисления: 43 − 30 = ( 40 + 3 ) − 30 = ( 40 − 30 ) + 3 = 10 + 3 = 13

        Все решение удобно записывать в виде цепочки равенств:
        45 − 32 = 45 − ( 2 + 30 ) = ( 45 − 2 ) − 30 = ( ( 40 + 5 ) − 2 ) − 30 = = ( 40 + ( 5 − 2 ) ) − 30 = ( 40 + 3 ) − 30 = ( 40 − 30 ) + 3 = 10 + 3 = 13

        Немного усложним пример.

        Вычтем из числа 85 число 18 .

        Раскладываем по разрядам число 18 , при этом получаем 18 = 10 + 8 . Меняем местами слагаемые: 10 + 8 = 8 + 10 . Теперь вычитаем полученную сумму разрядных слагаемых из числа 85 и применяем свойство вычитания суммы из числа: 85 − 18 = 85 − ( 8 + 10 ) = ( 85 − 8 ) − 10 . Вычисляем разность в скобках:
        85 − 8 = ( 80 + 5 ) − 8 = ( 80 − 8 ) + 5 = ( ( 70 + 10 ) − 8 ) + 5 = ( 70 + ( 10 − 8 ) ) + 5 = ( 70 + 2 ) + 5 = 70 + 7 = 77

        Тогда ( 85 − 8 ) − 10 = 77 − 10 = ( 70 + 7 ) − 10 = ( 70 − 10 ) + 7 = 60 + 7 = 67

        Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

        Отнимем от числа 23 555 число 715 .

        Так как 715 = 700 + 10 + 5 = 5 + 10 + 700 = 5 + ( 10 + 700 ) , то 23 555 − 715 = 23 555 − ( 5 + 10 + 700 ) . Вычитаем сумму из числа следующим образом: 23 555 − ( 5 + ( 10 + 700 ) ) = ( 23 555 − 5 ) − ( 10 + 700 ) .

        Вычислим разность в скобках:
        23 555 − 5 = ( 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 5 ) − 5 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + ( 5 − 5 ) = = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 0 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 = 23 550 .

        Тогда ( 23 555 − 5 ) − ( 10 + 700 ) = 23 550 − ( 10 + 700 ) .

        Еще раз обращаемся к свойству вычитания натурального числа из суммы: 23 550 − ( 10 + 700 ) = ( 23 550 − 10 ) − 700 .
        ( 23 550 − 10 ) − 700 = 23 540 − 700 = ( 20 000 + 3 000 + 500 + 40 ) − 700 = = 20 000 + ( 3 000 − 700 ) + 500 + 40

        Вычтем из 3 000 число 700 и : 3 000 − 700 = ( 2 000 + 1 000 ) − 700 = 2 000 + ( 1 000 − 700 ) = 2 000 + 300 = 2 300 , тогда 20 000 + ( 3 000 − 700 ) + 500 + 40 = 20 000 + 2 300 + 500 + 40 = 22 840 .

        Вычитание чисел на координатном луче

        Рассмотрим, что такое вычитание геометрической точки зрения. Используем координатный луч. Вычитание из a числа b на координатном луче находится так: определяем точку, координатой является a . Откладываем в направлении точки O единичные отрезки в количестве, определяемом вычитаемым b . Так мы найдем точку на координатном луче, координата равна разности a − b . Другими словами, это перемещение влево из точки с координатой a на расстояние b , попадая в точку с координатой a − b .

        Рассмотрим вычитание на координатном луче с помощью рисунка. Так мы попадем в точку с координатой 2 так, что 6 − 4 = 2 .

        Проверка результата вычитания сложением

        Проверка результата вычитания двух натуральных чисел базируется на связи между вычитанием и сложением. Там мы выяснили, что если c + b = a , то a − b = c и a − c = b . Если a − b = c , то c + b = a ; если a − c = b , то b + c = a . Докажем справедливость данных равенств.

        Пусть из a отложили в сторону b , после чего осталось c . Этому действию соответствует равенство a − b = c . Мы вернем отложенные b на место, то плучим a . Тогда можно говорить о справедливости равенства c + b = a .

        Теперь мы можем сформулировать правило, позволяющее проверить результат вычитания сложением: нужно к полученной разности прибавить вычитаемое, при этом должно получиться число, равное уменьшаемому. Если полученное число не равно уменьшаемому, то при вычитании допущена ошибка.

        Осталось лишь разобрать решения нескольких примеров, в которых выполняется проверка результата вычитания при помощи сложения.

        Из 50 было вычтено 42 и было получено 6 . Правильно ли было выполнено вычитание?

        Проверим полученный результат вычитания. Для этого прибавим к полученной разности вычитаемое: 6 + 42 = 48 (если нужно, изучите другие параграфы по данной теме). Так как мы получили число, не равное уменьшаемому 50 , то можно утверждать, что вычитание было проведено неправильно. Была допущена ошибка.

        Необходимо определить разность 1 024 − 11 и проверить результат.

        Вычисляем разность: 1 024 − 11 = 1 024 − ( 1 + 10 ) = ( 1 024 − 1 ) − 10 = 1 023 − 10 = 1 013 .

        Теперь выполняем проверку:

        1 013 + 11 = ( 1 000 + 10 + 3 ) + ( 10 + 1 ) = = 1 000 + 10 + 10 + 3 + 1 = 1 000 + 20 + 4 = 1 024

        Получили число, равное уменьшаемому, следовательно, разность вычислена правильно. 1 024 − 11 = 1 023 .

        Проверка результата вычитания вычитанием

        Правильность результата вычитания натуральных чисел можно проверить не только с помощью сложения, но и с помощью вычитания. Для этого нужно от уменьшаемого отнять найденную разность. При этом должно получиться число, равное вычитаемому. В противном случае в вычисления была допущена ошибка.

        Рассмотрим данное правило подробнее. Это позволит осуществить проверку результата вычитания чисел вычитанием. Представим, что у нас есть a фруктов, среди которых b яблок и c груш. Если мы отложим яблоки, то у нас останется только c груш, при этом имеем a − b = c . Если бы мы отложили все груши, то у нас остались бы только b яблок, при этом a − c = b .

        От числа 543 было отнято число 343 , в результате было получено число 200 .

        Вспоминаем о связи вычитания и сложения: 200 + 343 = 543 . От уменьшаемого 543 отнимаем разность 200 , получаем 543 − 200 = ( 500 + 43 ) − 200 = ( 500 − 200 ) + 43 = 30 + 43 = 343 .

        Это число равно вычитаемому, вычитание выполнено верно.

        www.zaochnik.com

        Смотрите еще:

        • Правило ed to The Past Simple (Indefinite) Tense Простое (неопределенное) прошедшее время Образование форм глагола в Past Simple (Indefinite) ТИП ПРЕДЛОЖЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ ЗАЛОГ СТРАДАТЕЛЬНЫЙ УТВЕРДИТЕЛЬНОЕ I (he, she, it, we, you, they) ask ed . I (he, she, it) was asked. You (we, they) were […]
        • Пособие для рабов Пособие для рабов УРОК 5. ВОССТАНИЕ РАБОВ ПОД ПРЕДВОДИТЕЛЬСТВОМ СПАРТАКА Наивысшее развитие рабовладельческого строя в Риме привело к наиболее острым формам классовой борьбы. Восстание Спартака было самым массовым и организованным из восстаний рабов в древнем мире. Восставшие стремились […]
        • Дистрибутивный закон Дистрибутивный закон Операции сложения и умножения действительных (а значит, в том числе и натуральных, и целых) чисел обладают следующими свойствами: a + b = b + a (переместительный закон сложения). (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения). ab = ba […]
        • Незначительные налоги Стандарты уборки для горничных ( Технология быстрой уборки номерного фонда ) Рубрикатор разделов 3. Подготовка к уборке номера. Правила уборки. 4.Текущая уборка номера 5. Генеральная уборка номера 6. Уборка и мущество гостя 7. Уборка и имущество отеля 8. Завершение […]
        • Страдательный залог предложения на английском Passive Voice — Страдательный (пассивный) залог в английском языке В английском языке, как и в русском, глаголы могут иметь два залога: действительный (Active Voice) и страдательный (Passive voice). I write a letter. Я пишу письмо. The letter is written by me. Письмо написано мною. В […]
        • Патент и пфр и фсс Основные налоги: доступно в таблице Для современного развивающегося бизнеса необходимо всегда оставаться на связи. Особенно это актуально для предпринимателей и организаций, занятых продажей товаров и услуг как в реальном жизни, так и в интернет-пространстве […]