4 закона умножения

Умножение и его свойства

Определение. Умножение — это действие в результате которого находят сумму одинаковых слагаемых. Умножить число а на число Ь означает найти сумму Ь слагаемых, каждое из которых равно а.

Числа, которые перемножаются, называются множителями (или сомножителями), а результат умножения — произведением .

При умножении натуральных чисел произведение всегда число положительное. Если один из множителей равен 0 (нулю), то произведение равно 0. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен 0.

Если один из двух множителей равен 1 (единице), То произведение равно второму множителю.

  • 5 * 6 * 8 * 0 = 0
  • 132 * 1 = 132
  • Законы умножения

    Сочетательный закон

    Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.

  • Например:
  • (7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
  • (a * b) * c = a * (b * c)
  • Переместительный закон

    Правило. От перестановки множителей произведение не изменяется.

    • 7 * 6 * 5 = 5 * 6 * 7 = 210
    • а * Ь * с = с * Ь * а

    Распределительным закон

    Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.

  • 7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
  • a * (b + c) = ab + ac
  • Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.

  • 7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7
  • Законы умножении распространяются на любое количество множителей в числовом или буквенном выражении. Распределительный закон умножения используется для вынесения общего множителя за скобки.

    Правило. Чтобы преобразовать сумму (разность) в произведение, достаточно вынести за скобки одинаковый множитель слагаемых, а оставшиеся множители записать в скобках суммой (разностью).

  • 7 * 8 — 7 * 5 = 7 * (8 — 5)
  • аЬ + ас = а * (Ь + с)
  • Вынесение множителя за скобки для больших числовых или буквенных выражений можно производить по группам слагаемых.

    shkolo.ru

    Законы арифметики

    Разберем основные законы арифметики, которые иначе называют свойствами сложения и умножения.

    Переместительный закон сложения

    От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
    (Значение суммы при перестановке слагаемых не меняется.)

    Сочетательный закон сложения

    Значение суммы не зависит от того, как сгруппированы слагаемые.
    (Порядок выполнения действий при вычислении суммы не влияет на конечный результат.)

  • 6 + 4 + (3 + 2) = 6 + (4 + 3) + 2 = (6 + 4) + 3 + 2 = 15
  • Обратите внимание, этот закон действует только, если все действия в примере сложение !

    От перемены мест множителей произведение не меняется.
    (Значение произведения при перестановке множителей не меняется.)

    Значение произведения не зависит от того, как сгруппированы множители.
    (Порядок выполнения действий при расчёте произведения не влияет на конечный результат.)

    По традиции пример:

    • 2 · (4 · 3) = (2 · 4) · 3 = 8 · 3 = 24
    • Распределительный закон умножения относительно сложения

      Чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

    • 8 · (6 + 5) = 8 · 6 + 8 · 5 = 48 + 40 = 88
    • math-prosto.ru

      интернет проект BeginnerSchool.ru

      Сайт для детей и их родителей

      Математические законы

      Ранее мы говорили о порядке выполнения математических действий. Продолжим изучение математических законов и сегодня поговорим о следующем:

    • о переместительном законе сложения;
    • о сочетательном законе сложения;
    • о переместительном законе умножения;
    • о сочетательном законе умножения;
    • о распределительном законе.
    • У Маши 3 яблока, а у Миши 4. Сколько яблок у детей?

      Для решения этой задачи надо сложить вместе 3 Машиных яблока и 4 Мишиных:

      3 + 4 = 7

      Ответ: У детей 7 яблок.

      А изменится ли ответ если яблоки складывать в другом порядке, то есть к 4 Мишиным прибавить 3 Машиных яблока?

      4 + 3 = 7

      Мы убедились, что не важно, в каком порядке складывать числа (слагаемые). Результат (сумма) будет одинаковым:

      3 + 4 = 4 + 3 = 7

      Это и есть переместительный закон сложения , он звучит так:

      От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

      В двух коробках лежат фломастеры по 80 штук в каждой. В одну коробку положили ещё 23 фломастера. Сколько всего стало фломастеров?

      Эту задачу можно решить следующим образом:

      (80 + 23) + 80 = 183

      80 + (80 + 23) = 183

      Результат получается один и тот же:

      (80 + 23) + 80 = 80 + (80 + 23) = 183

      Отсюда следует важное правило вычислений:

      Складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке.

      Катя купила 5 булочек по 20 рублей, а Коля 20 булочек по 5 рублей. Кто заплатил больше денег?

      Итак, вычислим, сколько заплатила Катя:

      5 × 20 = 100

      Теперь вычислим, сколько заплатил Коля:

      20 × 5 = 100

      Мы видим, что результат одинаковый. Катя и Коля заплатили одинаковые суммы.

      В результате решения этой задачи мы убедились, что не важно, в каком порядке перемножать числа (множители), результат (произведение) получится один и тот же:

      5 × 20 = 20 × 5 = 100

      Это и есть переместительный закон умножения , он звучит так:

      От перемены мест множителей произведение не меняется.

      В упаковке 6 пакетов сока. В контейнер входит 10 таких упаковок. Сколько пакетов сока входит в 5 таких контейнеров.

      Решим эту задачу, вычислим, сколько пакетов сока в контейнере, а затем в 5 контейнерах:

      (6 × 10) × 5 = 300

      Можно вычислить сначала, сколько упаковок в 5 контейнерах, а затем, сколько всего пакетов сока:

      6 × (10 × 5) = 300

      Как бы мы не считали, получаем одинаковый результат:

      (6 × 10) × 5 = 6 × (10 × 5) = 300

      Таким образом, мы убедились в справедливости сочетательного закона умножения :

      Перемножая множители, можно их группировать в любом порядке.

      Распределительный закон

      Вспомним, как можно вычислить периметр прямоугольника, длина которого 28 дм, а ширина 16 дм. Попробуем это сделать разными способами.

      Итак, мы знаем, что для вычисления периметра прямоугольника, надо сложить длины всех его сторон:

      28 + 28 + 16 + 16 = 88

      Учитывая то, что в прямоугольнике 2 длины и 2 ширины можно вычислить периметр следующим способом:

      28 × 2 + 16 × 2 = 88

      Но ведь можно сложить длину и ширину и умножить на 2:

      ( 28 + 16) × 2

      Таким образом, мы убедились, что можно сначала сложить длину и ширину, а затем умножить на 2, или сначала удвоить длину и ширину, а затем их сложить:

      ( 28 + 16) × 2 = 28 × 2 + 16 × 2 = 88

      Решая нашу задачу, мы доказали справедливость распределительного закона :

      Чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения.

      Решим ещё один пример:

      (7 + 3) × 4

      Значение данного выражения можно найти разными способами:

      Выполнив действия по порядку:

      (7 + 3) × 4 = 10 × 4 = 40

      Или применив правило умножения суммы на число:

      (7 + 3) × 4 = 7 × 4 + 3 × 4 = 28 + 12 = 40

      В результате разных способов вычисления, мы получили одинаковый результат.

      Спасибо, что Вы с нами.

      1. Порядок выполнения математических действийСегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия.
      2. Таблица умноженияМы все знаем, что учить таблицу умножения необходимо. А необходимо.
      3. ПлощадьВ этой статье мы разберемся, как вычислить площадь фигуры. Сравнить.
      4. Учим таблицу умножения. День третийПродолжим учить таблицу умножения. Это третий урок цикла “Как выучить.
      5. ПериметрСегодня у нас речь пойдет о том, как вычислить периметр.

      Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

      Подпишитесь на новости сайта:

      Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

      beginnerschool.ru

      Умножение и деление целых чисел

      При умножении и делении целых чисел применяется несколько правил. В данном уроке мы рассмотрим каждое из них.

      При умножении и делении целых чисел следует обращать внимание на знаки чисел. От них будет зависеть, какое правило применять. Также необходимо изучить несколько законов умножения и деления. Изучение этих правил позволяет избежать некоторые досадные ошибки в будущем.

      Некоторые из законов математики мы рассматривали в уроке законы математики. Но мы рассмотрели не все законы. В математике немало законов, и разумнее будет изучать их последовательно по мере необходимости.

      Для начала вспомним из чего состоит умножение. Умножение состоит из трёх параметров: множимого, множителя и произведения. Например в выражении 3 × 2 = 6 , число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение.

      Множимое показывает, что именно мы увеличиваем. В нашем примере мы увеличиваем число 3.

      Множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. В нашем примере множитель это число 2. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить множимое 3. То есть, в ходе операции умножения число 3 будет увеличено в два раза.

      Произведение это собственно результат операции умножения. В нашем примере произведение это число 6. Это произведение является результатом умножения 3 на 2.

      Выражение 3 × 2 также можно понимать, как сумму двух троек. Множитель 2 в данном случае будет показывать сколько раз нужно взять число 3:

      Таким образом, если взять число 3 два раза подряд, получится число 6.

      Переместительный закон умножения

      Множимое и множитель называют одним общим словом – сомножители. Переместительный закон умножения выглядит следующим образом:

      От перестановки мест сомножителей произведение не меняется.

      Проверим так ли это. Умножим к примеру 3 на 5. Здесь 3 и 5 это сомножители.

      Теперь поменяем местами сомножители:

      В обоих случаях, мы получаем ответ 15, значит между выражениями 3 × 5 и 5 × 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному тому же значению:

      А с помощью переменных переместительный закон умножения можно записать так:

      где a и b — сомножители

      Сочетательный закон умножения

      Этот закон говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

      К примеру выражение 3 × 2 × 4 состоит из нескольких сомножителей. Чтобы его вычислить, можно перемножить 3 и 2, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 4. Выглядеть это будет так:

      3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

      Это был первый вариант решения. Второй вариант состоит в том, чтобы перемножить 2 и 4, затем полученное произведение умножить на оставшееся число 3. Выглядеть это будет так:

      3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

      В обоих случаях мы получаем ответ 24. Поэтому между выражениями (3 × 2) × 4 и 3 × (2 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

      (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

      а с помощью переменных сочетательный закон умножения можно записать так:

      a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

      где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

      Распределительный закон умножения

      Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число. Для этого каждое слагаемое этой суммы умножается на это число, затем полученные результаты складывают.

      Например, найдём значение выражения (2 + 3) × 5

      Выражение находящееся в скобках является суммой. Эту сумму нужно умножить на число 5. Для этого каждое слагаемое этой суммы, то есть числа 2 и 3 нужно умножить на число 5, затем полученные результаты сложить:

      (2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

      Значит значение выражения (2 + 3) × 5 равно 25 .

      С помощью переменных распределительный закон умножения записывается так:

      (a + b) × c = a × c + b × c

      где вместо a, b, c могут стоять любые числа.

      Закон умножения на ноль

      Этот закон говорит о том, что если в любом умножении имеется хотя бы один ноль, то в ответе получится ноль.

      Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

      Например, выражение 0 × 2 равно нулю

      В данном случае число 2 является множителем и показывает во сколько раз нужно увеличить множимое. То есть, во сколько раз увеличить ноль. Буквально это выражение читается как «увеличить ноль в два раза». Но как можно увеличить ноль в два раза, если это ноль?

      Другими словами, если «ничего» увеличить в два раза или даже в миллион раз, всё равно получится «ничего».

      И если в выражении 0 × 2 поменять местами сомножители, опять же получится ноль. Это мы знаем из предыдущего переместительного закона:

      Примеры применения закона умножения на ноль:

      2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

      В последних двух примерах имеется несколько сомножителей. Увидев в них ноль, мы сразу в ответе поставили ноль, применив закон умножения на ноль.

      Мы рассмотрели основные законы умножения. Далее рассмотрим умножение целых чисел.

      Умножение целых чисел

      Пример 1. Найти значение выражения −5 × 2

      Это умножение чисел с разными знаками. −5 является отрицательным числом, а 2 – положительным. Для таких случаев нужно применять следующее правило:

      Чтобы перемножить числа с разными знаками, нужно перемножить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

      −5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

      Обычно записывают покороче: −5 × 2 = −10

      Любое умножение может быть представлено в виде суммы чисел. Например, рассмотрим выражение 2 × 3. Оно равно 6.

      Множителем в данном выражение является число 3. Этот множитель показывает во сколько раз нужно увеличить двойку. Но выражение 2 × 3 также можно понимать как сумму трёх двоек:

      То же самое происходит и с выражением −5 × 2. Это выражение может быть представлено в виде суммы

      А выражение (−5) + (−5) равно −10, и мы это знаем из прошлого урока. Это сложение отрицательных чисел. Напомним, что результат сложения отрицательных чисел есть отрицательное число.

      Пример 2. Найти значение выражения 12 × (−5)

      Это умножение чисел с разными знаками. 12 – положительное число, (−5) – отрицательное. Опять же применяем предыдущее правило. Перемножаем модули чисел и перед полученным ответом ставим минус:

      12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

      Обычно записывают короче: 12 × (−5) = −60

      Пример 3. Найти значение выражения 10 × (−4) × 2

      Это выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим 10 и (−4), затем полученное число умножим на 2. Попутно применим ранее изученные правила:

      10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

      Второе действие:

      −40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

      Значит значение выражения 10 × (−4) × 2 равно −80

      Обычно записывают короче: 10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

      Пример 4. Найти значение выражения (−4) × (−2)

      Это умножение отрицательных чисел. В таких случаях нужно применять следующее правило:

      Чтобы перемножить отрицательные числа, нужно перемножить их модули и перед полученным ответом поставить плюс

      (−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

      Плюс по традиции не записываем, поэтому просто записываем ответ 8.

      Обычно записывают короче (−4) × (−2) = 8

      Возникает вопрос почему при умножении отрицательных чисел вдруг получается положительное число. Давайте попробуем доказать, что (−4) × (−2) равно 8 и ни чему другому.

      Сначала запишем следующее выражение:

      Заключим его в скобки:

      Прибавим к этому выражению наше выражение (−4) × (−2). Его тоже заключим в скобки:

      Всё это приравняем к нулю:

      ( 4 × (−2) ) + ( (−4) × (−2) ) = 0

      Теперь начинается самое интересное. Суть в том, что мы должны вычислить левую часть этого выражения, и в результате получить 0.

      Итак, первое произведение ( 4 × (−2) ) равно −8. Запишем в нашем выражении число −8 вместо произведения ( 4 × (−2) )

      Теперь вместо второго произведения временно поставим многоточие

      Теперь внимательно смотрим на выражение −8 + […] = 0. Какое число должно стоять вместо многоточия, чтобы соблюдалось равенство? Ответ напрашивается сам. Вместо многоточия должно стоять положительное число 8 и никакое другое. Только так будет соблюдаться равенство. Ведь −8 + 8 равно 0.

      Возвращаемся к выражению −8 + ((−4) × (−2)) = 0 и вместо произведения ((−4) × (−2)) записываем число 8

      Пример 5. Найти значение выражения −2 × (6 + 4)

      Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число −2 на каждое слагаемое суммы (6 + 4)

      −2 × (6 + 4) = ( −2 × 6) + ( −2 × 4)

      Теперь вычислим выражения, находящиеся в скобках. Затем полученные результаты сложим. Попутно применим ранее изученные правила. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение

      Первое действие:

      −2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12

      −2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

      Третье действие:

      Значит значение выражения −2 × (6 + 4) равно −20

      Обычно записывают короче: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

      Пример 6. Найти значение выражения (−2) × (−3) × (−4)

      Выражение состоит из нескольких сомножителей. Сначала перемножим числа −2 и −3, и полученное произведение умножим на оставшееся число −4. Запись с модулями пропустим, чтобы не загромождать выражение

      Значит значение выражения (−2) × (−3) × (−4) равно −24

      Обычно записывают короче: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

      Законы деления

      Прежде чем делить целые числа, необходимо изучить два закона деления.

      В первую очередь, вспомним из чего состоит деление. Деление состоит из трёх параметров: делимого, делителя и частного. Например, в выражении 8 : 2 = 4, 8 – это делимое, 2 – делитель, 4 – частное.

      Делимое показывает, что именно мы делим. В нашем примере мы делим число 8.

      Делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое. В нашем примере делитель это число 2. Этот делитель показывает на сколько частей нужно разделить делимое 8. То есть, в ходе операции деления, число 8 будет разделено на две части.

      Частное – это собственно результат операции деления. В нашем примере частное это число 4. Это частное является результатом деления 8 на 2.

      Далее рассмотрим законы деления.

      На ноль делить нельзя

      Любое число запрещено делить на ноль. Дело в том, что деление является обратной операцией умножению. Например, если 2 × 6 = 12, то 12 : 6 = 2

      Видно, что второе выражение записано в обратном порядке.

      Теперь сделаем тоже самое для выражения 5 × 0. Мы знаем из законов умножения, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит и выражение 5 × 0 равно нулю

      Если записать это выражение в обратном порядке, то получим:

      Сразу в глаза бросается ответ 5, который получается в результате деления ноль на ноль. Это невозможно и глупо.

      В обратном порядке можно записать и другое похожее выражение, например 2 × 0 = 0

      В первом случае, разделив ноль на ноль мы получили 5, а во втором случае 2. То есть, каждый раз деля ноль на ноль, мы можем получить разные значения, а это недопустимо.

      Второе объяснение заключается в том, что разделить делимое на делитель означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст делимое.

      Например выражение 8 : 2 означает найти такое число, которое при умножении на 2 даст 8

      Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 2 даёт ответ 8. Чтобы найти это число, достаточно записать это выражение в обратном порядке:

      Теперь представим, что нужно найти значение выражения 5 : 0. В данном случае 5 – это делимое, 0 – делитель. Разделить 5 на 0 означает найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5

      Здесь вместо многоточия должно стоять число, которое при умножении на 0 даёт ответ 5. Но не существует числа, которое при умножении на ноль даёт 5.

      Выражение […] × 0 = 5 противоречит закону умножения на ноль, который утверждает, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

      А значит записывать выражение […] × 0 = 5 в обратном порядке, деля 5 на 0 нет никакого смысла. Поэтому и говорят, что на ноль делить нельзя.

      С помощью переменных данный закон записывается следующим образом:

      , при b ≠ 0

      Это выражение можно прочитать так:

      Число a можно разделить на число b, при условии, что b не равно нулю.

      Свойство частного

      Этот закон говорит о том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится.

      Например, рассмотрим выражение 12 : 4. Значение этого выражения равно 3

      Попробуем умножить делимое и делитель на одно и то же число, например на число 4. Если верить свойству частного, мы опять должны получить в ответе число 3

      (12 × 4 ) : (4 × 4 )

      (12 × 4 ) : (4 × 4 ) = 48 : 16 = 3

      Получили ответ 3.

      Теперь попробуем не умножить, а разделить делимое и делитель на число 4

      (12 : 4 ) : (4 : 4 )

      (12 : 4 ) : (4 : 4 ) = 3 : 1 = 3

      Видим, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не меняется.

      Мы рассмотрели два закона деления. Далее рассмотрим деление целых чисел.

      Деление целых чисел

      Пример 1. Найти значение выражения 12 : (−2)

      Это деление чисел с разными знаками. 12 – это положительное число, (−2) – отрицательное. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.

      12 : (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12 : 2) = −(6) = −6

      Обычно записывают короче 12 : (−2) = −6

      Пример 2. Найти значение выражения −24 : 6

      Это деление чисел с разными знаками. −24 – это отрицательное число, 6 – положительное. В таких случаях опять же нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак минус.

      −24 : 6 = −(|−24| : |6|) = −(24 : 6) = −(4) = −4

      Обычно записывают короче −24 : 6 = −4

      Пример 3. Найти значение выражения (−45) : (−5)

      Это деление отрицательных чисел. В таких случаях, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным ответом поставить знак плюс.

      (−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45 : 5 = 9

      Обычно записывают короче (−45) : (−5) = 9

      Пример 4. Найти значение выражения (−36) : (−4) : (−3)

      Согласно порядку действий, если в выражении присутствует только умножение или деление, то все действия нужно выполнять слева направо в порядке их следования.

      Разделим (−36) на (−4), и полученное число разделим на (−3)

      (−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36 : 4 = 9

      9 : (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9 : 3) = −(3) = −3

      Обычно записывают короче (−36) : (−4) : (−3) = 9 : (−3) = −3

      Понравился урок?
      Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

      Законы математики

      В нашей жизни есть законы, которые надо соблюдать. Соблюдение законов гарантирует стабильность и гармоничное развитие. Несоблюдение же законов приводит к печальным последствиям.

      У математики есть свои законы, которые тоже надо соблюдать. Несоблюдение законов математики в лучшем случае приводит к тому, что оценка учащегося снижается, а в худшем случае приводит к тому, что падают самолеты, зависают компьютеры, крыши домов улетают от сильного ветра, качество связи снижается, кто-то голодает, а кто-то жирует.

      Законы математики состоят из простых свойств. Эти свойства возможно вам уже знакомы. Но не мешает вспомнить их еще раз, а лучше всего записать или выучить наизусть.

      В данном уроке мы рассмотрим лишь малую часть законов математики. Их нам будет достаточно для дальнейшего изучения математики.

      Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

      Если положить на одну чашу весов 10 килограмм яблок и на другую чашу так же положить 10 килограмм яблок, то весы выровняться, и не важно, что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нем, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

      Таким образом, между выражениями 5 +2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма будет равна

      Полагаем что, вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

      Записанное переместительное свойство сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмем два любых числа пусть а=2 , b=3 . Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a+b=b+a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а , число 3 место b

      Сочетательный закон сложения

      Сочетательный закон сложения говорит о том, что результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий. Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства вычислений.

      Рассмотрим сумму из трех слагаемых:

      Чтобы вычислить данное выражение, можно сначала сложить числа 2 и 3 и полученный результат сложить с числом 5. Для наглядности сумму чисел 2 и 3 можно заключить в скобки, чтобы указать, что эта сумма будет вычислена в первую очередь:

      2 + 3 + 5 = (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10

      Либо сначала сложить числа 3 и 5 и сложить полученный результат с числом 2

      2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

      Таким образом, между выражениями (2 + 3) + 5 и 2 + (3 + 5) можно поставить знак равенства, поскольку их значения равны:

      (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

      Запишем сочетательный закон сложения с помощью переменных:

      (a + b) + c = a + (b + c)

      Переместительный закон умножения

      Переместительный закон умножения говорит о том, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Давайте проверим так ли это. Умножим пятерку на двойку, а затем наоборот двойку на пятерку.

      В обоих случаях получается один и тот же результат, поэтому между выражениями 5 × 2 и 2 × 5 можно поставить знак равенства, поскольку их значения равны:

      5 × 2 = 2 × 5

      Запишем переместительное свойство умножения с помощью переменных:

      Для записи законов в качестве переменных необязательно использовать именно буквы a и b . Можно использовать любые другие буквы, например c и d или x и y . Тот же переместительный закон умножения можно записать следующим образом:

      Сочетательный закон умножения

      Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

      Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

      Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

      Таким образом, мы можем записать, что выражение (2 × 3) × 4 равно выражению 2 × (3 × 4) , поскольку их значения равны:

      Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

      Распределительный закон умножения

      Распределительный закон умножения позволяет умножить сумму на число или число на сумму.

      Рассмотрим следующее выражение:

      Мы знаем, что сначала надо выполнить действие в скобках. Выполняем:

      В главном выражении (3+5)×2 выражение в скобках заменим на полученную восьмёрку:

      8 × 2 = 16

      Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое, которое в скобках, нужно умножить на 2, затем сложить полученные результаты:

      Мы рассмотрели распределительный закон умножения слишком развёрнуто и подробно. В школе этот пример записали бы очень коротко. К такой записи тоже надо привыкать. Выглядит она следующим образом:

      (3 + 5) × 2 = 3 × 2 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16

      Теперь запишем распределительное свойство умножения с помощью переменных:

      Из переместительного закона умножения мы узнали, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. В распределительном законе умножения (a+b)×c=a×c+b×c роль множимого играет выражение (a+b) , а роль множителя переменная c . Если поменять местами множимое и множитель, то получим выражение c×(a+b) . Это умножение переменной c на сумму (a+b) . Для выполнения такого умножения, нужно применить распределительный закон умножения, то есть умножить переменную c на каждое слагаемое в скобках:

      c × (a + b) = c × a + c × b

      Пример 2. Найти значение выражения 5 × (3 + 2)

      Умножим число 5 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

      5 × (3 + 2) = 5 × 3 + 5 × 2 = 15 + 10 = 25

      Пример 3. Найти значение выражения 6 × (5 + 2)

      Умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложим:

      spacemath.xyz

      Смотрите еще:

      • Правила пешки в шахматах Правила игры Шахматная доска Самое старое в шахматах - это, несомненно, доска, поле шахматной битвы. Она разделена на 64 поля - маленькие квадраты, состовляющие в совокупности один большой квадрат. Эти 64 квадрата располагаются в виде восьми горизонтальных и восьми вертикальных линий. […]
      • За совершение дисциплинарного проступка работодатель не имеет право применить Статья 192 ТК РФ. Дисциплинарные взыскания Ст 192 ТК РФ с комментариями и изменениями 2017-2018 года. За совершение дисциплинарного проступка, то есть неисполнение или ненадлежащее исполнение работником по его вине возложенных на него трудовых обязанностей, работодатель имеет право […]
      • Правила деление в столбик десятичных дробей Округление десятичных дробей На предыдущей странице мы обсудили, как округлить натуральное число. Теперь рассмотрим, как округлить десятичную дробь. Десятичную дробь можно округлить как до целых, так и до разрядов дробной части: десятых, сотых, тысячных и т.д. Важно помнить и не путать […]
      • Заявление на возврат вещественного доказательства Передача вещественных доказательств в связи с прекращением уголовного дела На основании ч.1 ст.73 УК РФ вещественными доказательствами являются предметы реального мира: 1) Вещи домашнего обихода; 2) Бытовая техника; 3) Аудио и видеотехника, телевизоры и т.п.; 4) Персональные компьютеры; […]
      • Закон продаж алкогольних напоїв Кодекс України про адміністративні правопорушення Розділ I. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ Глава 1 ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ Статтю 3 виключено на підставі Закону N 2342-III від 05.04.2001 Статтю 4 виключено на підставі Закону N 2342-III від 05.04.2001 Розділ II. АДМІНІСТРАТИВНЕ ПРАВОПОРУШЕННЯ І […]
      • Базовым законом является Федеральный закон от 26 июля 2006 г. N 135-ФЗ "О защите конкуренции" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 26 июля 2006 г. N 135-ФЗ"О защите конкуренции" С изменениями и дополнениями от: 1 декабря 2007 г., 29 апреля, 30 июня, 8 ноября 2008 г., 17 июля, 27 декабря 2009 г., 5 […]